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Theorem cmpfi 17471
Description: If a topology is compact and a collection of closed sets has the finite intersection property, its intersection is nonempty. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpfi  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  ( Clsd `  J
) ( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable group:    x, J

Proof of Theorem cmpfi
Dummy variables  r 
v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3807 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P J  -> 
y  C_  J )
2 0ss 3656 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  y
3 0fin 7336 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  Fin
4 elfpw 7408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  <->  ( (/)  C_  y  /\  (/)  e.  Fin )
)
52, 3, 4mpbir2an 887 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
6 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  U. J  =  U. y )
7 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  -> 
y  =  (/) )
87unieqd 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  U. y  =  U. (/) )
96, 8eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  U. J  =  U. (/) )
10 unieq 4024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  U. z  =  U. (/) )
1110eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( U. J  =  U. z  <->  U. J  =  U. (/) ) )
1211rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )
135, 9, 12sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )
1413expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( U. J  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z ) )
15 vn0 3635 . . . . . . . . . 10  |-  _V  =/=  (/)
16 iineq1 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  = 
|^|_ r  e.  (/)  ( U. J  \  r
) )
1716adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^|_ r  e.  (/)  ( U. J  \  r ) )
18 0iin 4149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^|_ r  e.  (/)  ( U. J  \  r )  =  _V
1917, 18syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  _V )
2019eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  _V  =  (/) ) )
2120necon3bbid 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( -.  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  (/) 
<->  _V  =/=  (/) ) )
2215, 21mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  ->  -.  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/) )
2322pm2.21d 100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  -> 
(/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) ) ) )
2414, 232thd 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
25 uniss 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  J  ->  U. y  C_ 
U. J )
2625ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  ->  U. y  C_  U. J
)
27 eqss 3363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. y  =  U. J  <->  ( U. y  C_  U. J  /\  U. J  C_  U. y
) )
2827baib 872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  C_  U. J  -> 
( U. y  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. y ) )
2926, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. y  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. y ) )
30 eqcom 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. y  =  U. J  <->  U. J  = 
U. y )
31 ssdif0 3686 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  C_  U. y  <->  ( U. J  \  U. y )  =  (/) )
3229, 30, 313bitr3g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. J  = 
U. y  <->  ( U. J  \  U. y )  =  (/) ) )
33 iindif2 4160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  ( U. J  \  U_ r  e.  y  r
) )
3433adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  ( U. J  \  U_ r  e.  y  r ) )
35 uniiun 4144 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. y  =  U_ r  e.  y  r
3635difeq2i 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  \  U. y )  =  ( U. J  \ 
U_ r  e.  y  r )
3734, 36syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  ( U. J  \  U. y ) )
3837eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  ( U. J  \  U. y
)  =  (/) ) )
3932, 38bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. J  = 
U. y  <->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  (/) ) )
40 imassrn 5216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  C_  ran  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
41 df-ima 4891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  =  ran  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  y )
42 resmpt 5191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  J  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  y )  =  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) )
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  y )  =  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) )
4443rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  ran  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  y )  =  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
4541, 44syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
4645ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
4740, 46syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
48 funmpt 5489 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (
r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) )
49 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( z  C_  y  /\  z  e. 
Fin ) )
5049simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
5150adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
z  e.  Fin )
52 imafi 7399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  /\  z  e.  Fin )  ->  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  e.  Fin )
5348, 51, 52sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  e.  Fin )
54 elfpw 7408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  i^i 
Fin )  <->  ( (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  /\  (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  e.  Fin ) )
5547, 53, 54sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  i^i 
Fin ) )
56 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. J  =  U. J
5756topopn 16979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
58 difexg 4351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. J  e.  J  ->  ( U. J  \  r
)  e.  _V )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  ( U. J  \  r
)  e.  _V )
6059ralrimivw 2790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  A. r  e.  y  ( U. J  \  r )  e. 
_V )
61 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  =  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
6261fnmpt 5571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. r  e.  y  ( U. J  \  r
)  e.  _V  ->  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) )  Fn  y
)
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  (
r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) )  Fn  y
)
6463ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  Fn  y )
65 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  i^i 
Fin ) )
66 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( ~P (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  i^i  Fin ) 
<->  ( w  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  /\  w  e.  Fin ) )
6765, 66sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( w  C_  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  /\  w  e.  Fin ) )
6867simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
6945ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  =  ran  (
r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) )
7068, 69sseqtrd 3384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  C_  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
7167simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  Fin )
72 fipreima 7412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  Fn  y  /\  w  C_  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  /\  w  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z )  =  w )
7364, 70, 71, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  w )
74 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =  w  <-> 
w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
) )
7574rexbii 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  w  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
) )
7673, 75sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
77 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z ) )  ->  w  =  ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z ) )
7877inteqd 4055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z ) )  ->  |^| w  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
7978eqeq2d 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z ) )  ->  ( (/)  =  |^| w 
<->  (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
) ) )
8055, 76, 79rexxfrd 4738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin ) (/)  =  |^| w  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
81 0ex 4339 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
82 imassrn 5216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  C_  ran  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
83 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  =  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
8456, 83opncldf1 17148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) : J -1-1-onto-> ( Clsd `  J
)  /\  `' (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) )  =  ( v  e.  ( Clsd `  J )  |->  ( U. J  \  v ) ) ) )
8584simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -1-1-onto-> ( Clsd `  J ) )
86 f1ofo 5681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -1-1-onto-> ( Clsd `  J )  -> 
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) : J -onto-> ( Clsd `  J
) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -onto->
( Clsd `  J )
)
88 forn 5656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -onto->
( Clsd `  J )  ->  ran  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  =  ( Clsd `  J
) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  ran  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  =  ( Clsd `  J
) )
9082, 89syl5sseq 3396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  C_  ( Clsd `  J ) )
91 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Clsd `  J )  e.  _V
9291elpw2 4364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )  <->  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  C_  ( Clsd `  J ) )
9390, 92sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )
)
9493ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )
)
95 elfi 7418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )
)  ->  ( (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  <->  E. w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin ) (/)  =  |^| w ) )
9681, 94, 95sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( (/)  e.  ( fi
`  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )  <->  E. w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  i^i  Fin ) (/)  =  |^| w
) )
97 inundif 3706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} )  u.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  =  ( ~P y  i^i 
Fin )
9897rexeqi 2909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} )  u.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )
99 rexun 3527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} )  u.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) U. J  =  U. z  <->  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
) )
10098, 99bitr3i 243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z 
<->  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
) )
101 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } ) 
C_  { (/) }
102101sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
z  e.  { (/) } )
103 elsni 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  { (/) }  ->  z  =  (/) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
z  =  (/) )
105104unieqd 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  ->  U. z  =  U. (/) )
106 uni0 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. (/)  =  (/)
107105, 106syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  ->  U. z  =  (/) )
108107eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
( U. J  = 
U. z  <->  U. J  =  (/) ) )
109108biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
( U. J  = 
U. z  ->  U. J  =  (/) ) )
110109rexlimiv 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } ) U. J  =  U. z  ->  U. J  =  (/) )
111 ssid 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  C_  y
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  C_  y
)
113 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. J  =  (/) )
114 0ss 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (/)  C_  U. y
115113, 114syl6eqss 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. J  C_  U. y
)
11625ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. y  C_  U. J
)
117115, 116eqssd 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. J  =  U. y )
118117, 113eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. y  =  (/) )
119118, 3syl6eqel 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. y  e.  Fin )
120 pwfi 7402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U. y  e.  Fin  <->  ~P U. y  e.  Fin )
121119, 120sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  ~P U. y  e.  Fin )
122 pwuni 4395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  C_  ~P U. y
123 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ~P U. y  e. 
Fin  /\  y  C_  ~P U. y )  -> 
y  e.  Fin )
124121, 122, 123sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  e.  Fin )
125 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  y  /\  y  e. 
Fin ) )
126112, 124, 125sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )
127 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  =/=  (/) )
128 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  y  =/=  (/) ) )
129126, 127, 128sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )
130 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  y  ->  U. z  =  U. y )
131130eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  y  ->  ( U. J  =  U. z 
<-> 
U. J  =  U. y ) )
132131rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  U. J  = 
U. y )  ->  E. z  e.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z )
133129, 117, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z )
134133expr 599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. J  =  (/)  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
135110, 134syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
136 idd 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
137135, 136jaod 370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
)  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
138 olc 374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z  ->  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
) )
139137, 138impbid1 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
)  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
140100, 139syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
141 eldifi 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
142141adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
143142, 49sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( z  C_  y  /\  z  e.  Fin ) )
144143simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  C_  y )
145 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
y  C_  J )
146144, 145sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  C_  J )
147146unissd 4039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  U. z  C_  U. J
)
148 eqss 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. z  =  U. J  <->  ( U. z  C_  U. J  /\  U. J  C_  U. z
) )
149148baib 872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. z  C_  U. J  -> 
( U. z  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. z ) )
150147, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( U. z  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. z ) )
151 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. z  =  U. J  <->  U. J  = 
U. z )
152 ssdif0 3686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. J  C_  U. z  <->  ( U. J  \  U. z )  =  (/) )
153 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. J  \  U. z )  =  (/)  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) )
154152, 153bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. J  C_  U. z  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) )
155150, 151, 1543bitr3g 279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( U. J  = 
U. z  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) ) )
156 df-ima 4891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  ran  (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  z )
157 resmpt 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  z )  =  ( r  e.  z  |->  ( U. J  \  r
) ) )
158144, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  z )  =  ( r  e.  z  |->  ( U. J  \  r
) ) )
159158rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  ran  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  z )  =  ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
160156, 159syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
161160inteqd 4055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  |^| ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
16259ralrimivw 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  Top  ->  A. r  e.  z  ( U. J  \  r )  e. 
_V )
163162ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  A. r  e.  z 
( U. J  \ 
r )  e.  _V )
164 dfiin3g 5123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. r  e.  z  ( U. J  \  r
)  e.  _V  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
166 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )
167166simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
z  =/=  (/) )
168167adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  =/=  (/) )
169 iindif2 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =/=  (/)  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r )  =  ( U. J  \  U_ r  e.  z  r
) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r
)  =  ( U. J  \  U_ r  e.  z  r ) )
171161, 165, 1703eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  ( U. J  \  U_ r  e.  z  r
) )
172 uniiun 4144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. z  =  U_ r  e.  z  r
173172difeq2i 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. J  \  U. z )  =  ( U. J  \ 
U_ r  e.  z  r )
174171, 173syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  ( U. J  \  U. z ) )
175174eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( (/)  =  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) ) )
176155, 175bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( U. J  = 
U. z  <->  (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
177176rexbidva 2722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
178140, 177bitrd 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
179 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " (/) ) )
180 ima0 5221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " (/) )  =  (/)
181179, 180syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  (/) )
182181inteqd 4055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  (/)  ->  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =  |^| (/) )
183 int0 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  |^| (/)  =  _V
184182, 183syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  (/)  ->  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =  _V )
185184neeq1d 2614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  (/)  ->  ( |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =/=  (/)  <->  _V  =/=  (/) ) )
18615, 185mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  (/)  ->  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =/=  (/) )
187186necomd 2687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  (/)  ->  (/)  =/=  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
188187necon2i 2651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z )  -> 
z  =/=  (/) )
189166rbaibr 875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  <->  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
190188, 189syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z )  -> 
( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) ) )
191190pm5.32ri 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  (/)  =  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z ) )  <->  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  /\  (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
192191rexbii2 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
193178, 192syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
19480, 96, 1933bitr4rd 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) )
19539, 194imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
19624, 195pm2.61dane 2682 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
19760adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  A. r  e.  y 
( U. J  \ 
r )  e.  _V )
198 dfiin3g 5123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. r  e.  y  ( U. J  \  r
)  e.  _V  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
199197, 198syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
20045inteqd 4055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  |^| ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
201199, 200eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^| (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
202201eqeq1d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  (/) ) )
203 nne 2605 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
|^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  =/=  (/) 
<-> 
|^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  =  (/) )
204202, 203syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) )
205204imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi
`  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )  <->  ( -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
206196, 205bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
207 con1b 324 . . . . 5  |-  ( ( -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  =/=  (/)  ->  (/)  e.  ( fi
`  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )  <->  ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  |^| (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  =/=  (/) ) )
208206, 207syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
2091, 208sylan2 461 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ~P J
)  ->  ( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
210209ralbidva 2721 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  A. y  e.  ~P  J ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
21156iscmp 17451 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) ) )
212211baib 872 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) ) )
21393adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ~P J
)  ->  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  e.  ~P ( Clsd `  J ) )
214 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  J  e.  Top )
215 funmpt 5489 . . . . . 6  |-  Fun  (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) )
216215a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  Fun  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) )
217 elpwi 3807 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ( Clsd `  J )  ->  x  C_  ( Clsd `  J
) )
218 foima 5658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -onto->
( Clsd `  J )  ->  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) " J )  =  (
Clsd `  J )
)
21987, 218syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) " J )  =  (
Clsd `  J )
)
220219sseq2d 3376 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  C_  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " J
)  <->  x  C_  ( Clsd `  J ) ) )
221217, 220syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ~P ( Clsd `  J )  ->  x  C_  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" J ) ) )
222221imp 419 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) " J ) )
223 ssimaexg 5789 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Fun  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  /\  x  C_  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" J ) )  ->  E. y ( y 
C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )
224214, 216, 222, 223syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  E. y ( y 
C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )
225 df-rex 2711 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~P  J x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  <->  E. y ( y  e.  ~P J  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) )
226 vex 2959 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
227226elpw 3805 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P J  <->  y  C_  J )
228227anbi1i 677 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P J  /\  x  =  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )  <->  ( y  C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) ) )
229228exbii 1592 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  e. 
~P J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )  <->  E. y ( y  C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) ) )
230225, 229bitri 241 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~P  J x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  <->  E. y ( y 
C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )
231224, 230sylibr 204 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  E. y  e.  ~P  J x  =  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
232 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )
233232fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( fi `  x )  =  ( fi `  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) ) )
234233eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  x )  <->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) )
235234notbid 286 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  x )  <->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) )
236232inteqd 4055 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  |^| x  =  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )
237236neeq1d 2614 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( |^| x  =/=  (/)  <->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  =/=  (/) ) )
238235, 237imbi12d 312 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  (
( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
239213, 231, 238ralxfrd 4737 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  ~P  ( Clsd `  J )
( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) )  <->  A. y  e.  ~P  J ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
240210, 212, 2393bitr4d 277 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  ( Clsd `  J
) ( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015   |^|cint 4050   U_ciun 4093   |^|_ciin 4094    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454   Fincfn 7109   ficfi 7415   Topctop 16958   Clsdccld 17080   Compccmp 17449
This theorem is referenced by:  cmpfii  17472  fclscmp  18062  heibor1lem  26518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-top 16963  df-cld 17083  df-cmp 17450
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