Theorem cmpfun 10467

Description: Functionality of a class given by a "maps to" notation.

Hypothesis

Ref	Expression
cmp.1	|- F = (x e. A |-> B)

Assertion

Ref	Expression
cmpfun	|- Fun F

Proof of Theorem cmpfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.27 323	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y = B) -> y = B)
2	1	ssopab2i 2823	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} (_ {<.x, y>. | y = B}
3		funopabeq 3549	. . . 4 |- Fun {<.x, y>. | y = B}
4		funss 3534	. . . 4 |- ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} (_ {<.x, y>. | y = B} -> (Fun {<.x, y>. | y = B} -> Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}))
5	2, 3, 4	mp2 43	. . 3 |- Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
6		df-mpt 4073	. . . 4 |- (x e. A |-> B) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
7		funeq 3535	. . . 4 |- ((x e. A |-> B) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} -> (Fun (x e. A |-> B) <-> Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}))
8	6, 7	ax-mp 7	. . 3 |- (Fun (x e. A |-> B) <-> Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)})
9	5, 8	mpbir 190	. 2 |- Fun (x e. A |-> B)
10		cmp.1	. . 3 |- F = (x e. A |-> B)
11		funeq 3535	. . . 4 |- (F = (x e. A |-> B) -> (Fun F <-> Fun (x e. A |-> B)))
12	11	bicomd 521	. . 3 |- (F = (x e. A |-> B) -> (Fun (x e. A |-> B) <-> Fun F))
13	10, 12	ax-mp 7	. 2 |- (Fun (x e. A |-> B) <-> Fun F)
14	9, 13	mpbi 189	1 |- Fun F

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  {copab 2666  Fun wfun 3176   e. cmpt 4071

This theorem is referenced by:  cmpdom 10468  trnij 10637

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-fun 3192  df-mpt 4073

Copyright terms: Public domain