MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmphaushmeo Unicode version

Theorem cmphaushmeo 17507
Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmphaushmeo.1  |-  X  = 
U. J
cmphaushmeo.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cmphaushmeo  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem cmphaushmeo
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmphaushmeo.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 cmphaushmeo.2 . . 3  |-  Y  = 
U. K
31, 2hmeof1o 17471 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5501 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
64, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y --> X )
76a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y --> X ) )
8 f1orel 5491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Rel  F )
98ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  Rel  F )
10 dfrel2 5140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
119, 10sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  `' `' F  =  F
)
1211imaeq1d 5027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( `' `' F " x )  =  ( F " x ) )
13 simp2 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Haus )
1413adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  K  e.  Haus )
15 imassrn 5041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" x )  C_  ran  F
16 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
1716ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  F : X -onto-> Y )
18 forn 5470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  ran  F  =  Y )
2015, 19syl5sseq 3239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( F " x
)  C_  Y )
21 simpl3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
22 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Comp )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  J  e.  Comp )
24 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) )
25 cmpcld 17145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  x )  e.  Comp )
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( Jt  x )  e.  Comp )
27 imacmp 17140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( Jt  x )  e.  Comp )  ->  ( Kt  ( F
" x ) )  e.  Comp )
2821, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( Kt  ( F "
x ) )  e. 
Comp )
292hauscmp 17150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  ( F " x )  C_  Y  /\  ( Kt  ( F
" x ) )  e.  Comp )  ->  ( F " x )  e.  ( Clsd `  K
) )
3014, 20, 28, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
3112, 30eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( `' `' F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
3231expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
3332ralrimdva 2646 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  A. x  e.  ( Clsd `  J
) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
347, 33jcad 519 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
35 haustop 17075 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
3613, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
372toptopon 16687 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3836, 37sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
39 cmptop 17138 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
4022, 39syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
411toptopon 16687 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4240, 41sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
43 iscncl 17014 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
4438, 42, 43syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
4534, 44sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
46 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4745, 46jctild 527 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) ) )
48 ishmeo 17466 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
4947, 48syl6ibr 218 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  e.  ( J  Homeo  K ) ) )
503, 49impbid2 195 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   ran crn 4706   "cima 4708   Rel wrel 4710   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970   Hauscha 17052   Compccmp 17129    Homeo chmeo 17460
This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  18440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cls 16774  df-cn 16973  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-hmeo 17462
  Copyright terms: Public domain W3C validator