Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmphmph Structured version   Unicode version

Theorem cmphmph 17821
 Description: Compactness is a topological property-that is, for any two homeomorphic topologies, either both are compact or neither is. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmphmph

Proof of Theorem cmphmph
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 17809 . 2
2 n0 3638 . . 3
3 eqid 2437 . . . . . . 7
4 eqid 2437 . . . . . . 7
53, 4hmeof1o 17797 . . . . . 6
6 f1ofo 5682 . . . . . 6
75, 6syl 16 . . . . 5
8 hmeocn 17793 . . . . 5
94cncmp 17456 . . . . . . 7
1093expb 1155 . . . . . 6
1110expcom 426 . . . . 5
127, 8, 11syl2anc 644 . . . 4
1312exlimiv 1645 . . 3
142, 13sylbi 189 . 2
151, 14sylbi 189 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360  wex 1551   wcel 1726   wne 2600  c0 3629  cuni 4016   class class class wbr 4213  wfo 5453  wf1o 5454  (class class class)co 6082   ccn 17289  ccmp 17450   chmeo 17786   chmph 17787 This theorem is referenced by:  ptcmpfi  17846  xrcmp  18974  reheibor  26549 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-fin 7114  df-top 16964  df-topon 16967  df-cn 17292  df-cmp 17451  df-hmeo 17788  df-hmph 17789
 Copyright terms: Public domain W3C validator