MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpkgen Structured version   Unicode version

Theorem cmpkgen 17576
Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpkgen  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )

Proof of Theorem cmpkgen
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . 2  |-  U. J  =  U. J
2 cmptop 17451 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Top )
41topopn 16972 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  J
)
6 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  U. J )
76snssd 3936 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  C_  U. J )
8 opnneiss 17175 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. J  e.  J  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  U. J  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
93, 5, 7, 8syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) )
101restid 13654 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  U. J )  =  J )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  -> 
( Jt  U. J )  =  J )
12 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Comp )
1311, 12eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  -> 
( Jt  U. J )  e. 
Comp )
14 oveq2 6082 . . . . 5  |-  ( k  =  U. J  -> 
( Jt  k )  =  ( Jt  U. J ) )
1514eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( k  =  U. J  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  <->  ( Jt  U. J
)  e.  Comp )
)
1615rspcev 3045 . . 3  |-  ( ( U. J  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  ( Jt  U. J )  e.  Comp )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
179, 13, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  E. k  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
181, 2, 17llycmpkgen2 17575 1  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2699    C_ wss 3313   {csn 3807   U.cuni 4008   ran crn 4872   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   ↾t crest 13641   Topctop 16951   neicnei 17154   Compccmp 17442  𝑘Genckgen 17558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-oadd 6721  df-er 6898  df-en 7103  df-fin 7106  df-fi 7409  df-rest 13643  df-topgen 13660  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-ntr 17077  df-nei 17155  df-cmp 17443  df-kgen 17559
  Copyright terms: Public domain W3C validator