MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpkgen Unicode version

Theorem cmpkgen 17505
Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpkgen  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )

Proof of Theorem cmpkgen
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . 2  |-  U. J  =  U. J
2 cmptop 17381 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Top )
41topopn 16903 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  J
)
6 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  U. J )
76snssd 3887 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  C_  U. J )
8 opnneiss 17106 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. J  e.  J  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  U. J  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
93, 5, 7, 8syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) )
101restid 13589 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  U. J )  =  J )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  -> 
( Jt  U. J )  =  J )
12 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Comp )
1311, 12eqeltrd 2462 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  -> 
( Jt  U. J )  e. 
Comp )
14 oveq2 6029 . . . . 5  |-  ( k  =  U. J  -> 
( Jt  k )  =  ( Jt  U. J ) )
1514eleq1d 2454 . . . 4  |-  ( k  =  U. J  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  <->  ( Jt  U. J
)  e.  Comp )
)
1615rspcev 2996 . . 3  |-  ( ( U. J  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  ( Jt  U. J )  e.  Comp )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
179, 13, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  E. k  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
181, 2, 17llycmpkgen2 17504 1  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2651    C_ wss 3264   {csn 3758   U.cuni 3958   ran crn 4820   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   ↾t crest 13576   Topctop 16882   neicnei 17085   Compccmp 17372  𝑘Genckgen 17487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-fin 7050  df-fi 7352  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-ntr 17008  df-nei 17086  df-cmp 17373  df-kgen 17488
  Copyright terms: Public domain W3C validator