MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpkgen Unicode version

Theorem cmpkgen 17246
Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpkgen  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )

Proof of Theorem cmpkgen
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  U. J  =  U. J
2 cmptop 17122 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Top )
41topopn 16652 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  J
)
6 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  U. J )
76snssd 3760 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  C_  U. J )
8 opnneiss 16855 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. J  e.  J  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  U. J  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
93, 5, 7, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) )
101restid 13338 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  U. J )  =  J )
113, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  -> 
( Jt  U. J )  =  J )
12 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Comp )
1311, 12eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  -> 
( Jt  U. J )  e. 
Comp )
14 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( k  =  U. J  -> 
( Jt  k )  =  ( Jt  U. J ) )
1514eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( k  =  U. J  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  <->  ( Jt  U. J
)  e.  Comp )
)
1615rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( U. J  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  ( Jt  U. J )  e.  Comp )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
179, 13, 16syl2anc 642 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  E. k  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
181, 2, 17llycmpkgen2 17245 1  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631   neicnei 16834   Compccmp 17113  𝑘Genckgen 17228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-cmp 17114  df-kgen 17229
  Copyright terms: Public domain W3C validator