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Theorem cmpmon 25815
Description: The composite of two monomorphisms is a monomorphism. JFM CAT1 th. 61 (Contributed by FL, 10-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
cmpmon.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
cmpmon.2  |-  H  =  ( hom `  T
)
cmpmon.3  |-  R  =  ( o_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
cmpmon  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  /\  G  e.  ( MonoOLD  `  T
) ) ) )  ->  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T ) )

Proof of Theorem cmpmon
Dummy variables  a 
g  h  k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 952 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
) )
2 cmpmon.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
3 cmpmon.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( hom `  T
)
4 cmpmon.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( o_ `  T
)
52, 3, 4ismonc 25814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  <->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
65biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
763exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
87com13 74 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( F  e.  ( MonoOLD  `  T
)  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
98adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
109com13 74 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
111, 10syl5 28 . . . . 5  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
12113imp 1145 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( F  e.  ( MonoOLD  `
 T )  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
13 3simpc 954 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
) )
142, 3, 4ismonc 25814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( G  e.  ( MonoOLD  `  T )  <->  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )
1514biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( G  e.  ( MonoOLD  `  T )  ->  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )
16153exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  ( G  e.  ( MonoOLD  `  T )  ->  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) ) ) )
1716com13 74 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( G  e.  ( MonoOLD  `  T
)  ->  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) ) ) )
1817adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( G  e.  ( MonoOLD  `  T )  ->  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) ) ) )
1918com13 74 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G  e.  ( MonoOLD  `  T )  ->  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) ) ) )
2013, 19syl5 28 . . . . 5  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G  e.  ( MonoOLD  `  T )  ->  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) ) ) )
21203imp 1145 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( G  e.  ( MonoOLD  `
 T )  ->  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )
22 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ a ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )
23 nfra1 2593 . . . . . . . . 9  |-  F/ a A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )
24 nfra1 2593 . . . . . . . . 9  |-  F/ a A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l )
2523, 24nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ a ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) )
2622, 25nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ a ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )
27 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )
28 nfra2 2597 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )
29 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l )
3028, 29nfan 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) )
3127, 30nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )
32 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g  a  e.  O
3331, 32nfan 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ g ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )
34 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ h
( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )
35 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ h O
36 nfra2 2597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ h A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )
3735, 36nfral 2596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ h A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )
38 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ h A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l )
3937, 38nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ h
( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) )
4034, 39nfan 1771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ h
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )
41 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ h  a  e.  O
4240, 41nfan 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h
( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )
43 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
4442, 43nfan 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ h
( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )
452, 3, 4cmpassoh 25801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( a  e.  O  /\  A  e.  O
)  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  -> 
( ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) )
46453expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O )  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) )
4746com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( g  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O )  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) )
48473expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O )  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) ) )
4948com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( T  e. 
Cat OLD  ->  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( (
( a  e.  O  /\  A  e.  O
)  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  -> 
( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) ) )
5049com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O
)  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  -> 
( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) ) )
5150exp43 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  O  ->  ( A  e.  O  ->  ( B  e.  O  -> 
( C  e.  O  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) ) ) ) ) )
52513impd 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  O  ->  (
( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) ) ) )
5352com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( a  e.  O  ->  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) ) ) )
5453com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( a  e.  O  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) ) ) )
55543imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) ) ) )
5756imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  -> 
( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) )
5857ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h ) )  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( ( G R F ) R g ) )
59 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  <->  ( ( G R F ) R h )  =  ( ( G R F ) R g ) )
6059biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  ->  (
( G R F ) R h )  =  ( ( G R F ) R g ) )
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h ) )  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( ( G R F ) R g ) )
622, 3, 4cmpassoh 25801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( a  e.  O  /\  A  e.  O
)  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  -> 
( ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R ( F R h ) )  =  ( ( G R F ) R h ) ) )
6362imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( a  e.  O  /\  A  e.  O )  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  /\  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  ( G R ( F R h ) )  =  ( ( G R F ) R h ) )
6463eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( a  e.  O  /\  A  e.  O )  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  /\  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) )
65643exp1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O
)  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) )
6665com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O )  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) )
6766ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  e.  O  ->  ( A  e.  O  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) ) )
6867com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a  e.  O  ->  (
( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( A  e.  O  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) ) )
6968com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( A  e.  O  ->  ( a  e.  O  ->  (
( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) ) )
7069com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( A  e.  O  ->  ( a  e.  O  ->  ( ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) ) )
7170ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( B  e.  O  ->  ( C  e.  O  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( A  e.  O  ->  ( a  e.  O  ->  ( ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) ) ) )
7271com4r 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  O  ->  ( B  e.  O  ->  ( C  e.  O  -> 
( T  e.  Cat OLD 
->  ( a  e.  O  ->  ( ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) ) ) )
73723imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( a  e.  O  ->  ( ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) )
7473impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
a  e.  O  -> 
( ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) )
7574com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( a  e.  O  ->  ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) )
76753expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( a  e.  O  ->  ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )
)  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) )
7776com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( a  e.  O  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) ) )
78773impia 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) ) )
8079imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  ->  (
h  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) )
8180adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  -> 
( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  (
( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) ) )
8281imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  (
( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h ) )  ->  ( ( G R F ) R h )  =  ( G R ( F R h ) ) )
8458, 61, 833eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h ) )  ->  ( G R ( F R g ) )  =  ( G R ( F R h ) ) )
8584ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  (
( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  -> 
( G R ( F R g ) )  =  ( G R ( F R h ) ) ) )
862, 3, 4homgrf 25802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O
) )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) )
8786ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) )
8887com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( g  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) )
8988ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) )
9089com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( T  e. 
Cat OLD  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) )
9190com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  (
g  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) )
92913expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  e.  O  ->  (
( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R g )  e.  ( H `
 <. a ,  B >. ) ) ) ) ) )
9392com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( a  e.  O  -> 
( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) ) )
941, 93syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( a  e.  O  -> 
( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) ) )
9594adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( a  e.  O  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) ) )
9695com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( a  e.  O  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ) ) ) ) )
97963imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R g )  e.  ( H `
 <. a ,  B >. ) ) ) )
9897adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ) ) )
9998imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  -> 
( F R g )  e.  ( H `
 <. a ,  B >. ) )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  ( F R g )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)
1012, 3, 4homgrf 25802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O
) )  ->  (
( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) )
102101ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( (
h  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) )
103102com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( h  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) )
104103ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) )
105104com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( h  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) )
106105adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  O  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( T  e.  Cat OLD 
->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) )
1071063expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  e.  O  ->  (
( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
h  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) ) )
108107com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( a  e.  O  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( T  e.  Cat OLD 
->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) ) )
109108com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( a  e.  O  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) ) )
1101093adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( T  e.  Cat OLD 
->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( a  e.  O  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) ) ) ) )
111110com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( a  e.  O  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ) ) ) ) )
1121113imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `
 <. a ,  B >. ) ) ) )
113112adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ) ) )
114113imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  ->  (
h  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) )
115114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  -> 
( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) )
116115imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)
117100, 116jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  (
( F R g )  e.  ( H `
 <. a ,  B >. )  /\  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
) )
118 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l )  ->  ( a  e.  O  ->  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )
119118ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )
120119imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  ->  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) )
121120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) )
122 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( F R g )  ->  ( G R k )  =  ( G R ( F R g ) ) )
123122eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( F R g )  ->  (
( G R k )  =  ( G R l )  <->  ( G R ( F R g ) )  =  ( G R l ) ) )
124 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( F R g )  ->  (
k  =  l  <->  ( F R g )  =  l ) )
125123, 124imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( F R g )  ->  (
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l )  <->  ( ( G R ( F R g ) )  =  ( G R l )  ->  ( F R g )  =  l ) ) )
126 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  =  ( F R h )  ->  ( G R l )  =  ( G R ( F R h ) ) )
127126eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  ( F R h )  ->  (
( G R ( F R g ) )  =  ( G R l )  <->  ( G R ( F R g ) )  =  ( G R ( F R h ) ) ) )
128 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  ( F R h )  ->  (
( F R g )  =  l  <->  ( F R g )  =  ( F R h ) ) )
129127, 128imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  ( F R h )  ->  (
( ( G R ( F R g ) )  =  ( G R l )  ->  ( F R g )  =  l )  <->  ( ( G R ( F R g ) )  =  ( G R ( F R h ) )  ->  ( F R g )  =  ( F R h ) ) ) )
130125, 129rspc2v 2890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F R g )  e.  ( H `
 <. a ,  B >. )  /\  ( F R h )  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l )  ->  ( ( G R ( F R g ) )  =  ( G R ( F R h ) )  ->  ( F R g )  =  ( F R h ) ) ) )
131117, 121, 130sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  (
( G R ( F R g ) )  =  ( G R ( F R h ) )  -> 
( F R g )  =  ( F R h ) ) )
132 r3al 2600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  <->  A. a A. g A. h ( ( a  e.  O  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
133132biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  ->  A. a A. g A. h ( ( a  e.  O  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
13413319.21bi 1794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  ->  A. g A. h ( ( a  e.  O  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
13513419.21bbi 1795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  ->  ( (
a  e.  O  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
136135ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  ->  ( (
a  e.  O  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
1371363expd 1168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
138137imp41 576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) )
13985, 131, 1383syld 51 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  (
( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  -> 
g  =  h ) )
140139ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  -> 
( h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )  ->  (
( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  -> 
g  =  h ) ) )
14144, 140ralrimi 2624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  /\  g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) )  ->  A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  ->  g  =  h ) )
142141ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  ->  (
g  e.  ( H `
 <. a ,  A >. )  ->  A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  ->  g  =  h ) ) )
14333, 142ralrimi 2624 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  /\  a  e.  O )  ->  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  ->  g  =  h ) )
144143ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  ->  ( a  e.  O  ->  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  ->  g  =  h ) ) )
14526, 144ralrimi 2624 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  /\  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) ) )  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  ->  g  =  h ) )
146145ex 423 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) )  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  ->  g  =  h ) ) )
147 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  T  e.  Cat OLD  )
148 3simpb 953 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( A  e.  O  /\  C  e.  O
) )
1491483ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( A  e.  O  /\  C  e.  O ) )
1502, 3, 4homgrf 25802 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R F )  e.  ( H `  <. A ,  C >. ) ) )
1511503impia 1148 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( G R F )  e.  ( H `  <. A ,  C >. ) )
1522, 3, 4ismonc 25814 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( G R F )  e.  ( H `  <. A ,  C >. ) )  -> 
( ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T )  <->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  ->  g  =  h ) ) )
153147, 149, 151, 152syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `
 T )  <->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) ( ( ( G R F ) R g )  =  ( ( G R F ) R h )  ->  g  =  h ) ) )
154146, 153sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  A >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  A >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  /\  A. a  e.  O  A. k  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. l  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( G R k )  =  ( G R l )  ->  k  =  l ) )  ->  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T ) ) )
15512, 21, 154syl2and 469 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) ) )  ->  ( ( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  /\  G  e.  ( MonoOLD  `  T
) )  ->  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `
 T ) ) )
1561553exp 1150 . 2  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( F  e.  ( MonoOLD  `  T
)  /\  G  e.  ( MonoOLD  `  T ) )  -> 
( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T
) ) ) ) )
1571563imp2 1166 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  /\  G  e.  ( MonoOLD  `  T
) ) ) )  ->  ( G R F )  e.  ( MonoOLD  `  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   <.cop 3643   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   id_cid_ 25714   o_co_ 25715    Cat OLD ccatOLD 25752   homchomOLD 25785   MonoOLD cmonOLD 25804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-alg 25716  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-ded 25735  df-catOLD 25753  df-homOLD 25786  df-monOLD 25806
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