Theorem cmpmorp 10712

Description: Condition for a composite to be a morphism.

Hypotheses

Ref	Expression
cmpmorp.1	|- M = dom (dom` T)
cmpmorp.2	|- D = (dom` T)
cmpmorp.3	|- C = (cod` T)
cmpmorp.4	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
cmpmorp	|- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (GRF) e. M))

Proof of Theorem cmpmorp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmpmorp.1	. . . . . . . . 9 |- M = dom (dom` T)
2		eqid 1475	. . . . . . . . 9 |- (dom` T) = (dom` T)
3		cmpmorp.4	. . . . . . . . 9 |- R = (o` T)
4	1, 2, 3	cmppfc 10701	. . . . . . . 8 |- (T e. Cat -> (Fun R /\ dom R (_ (M X. M) /\ ran R (_ M))
5	4	3ad2ant1 800	. . . . . . 7 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> (Fun R /\ dom R (_ (M X. M) /\ ran R (_ M))
6	5	3simp1d 794	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> Fun R)
7	6	adantr 389	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) /\ (D` G) = (C` F)) -> Fun R)
8		cmpmorp.2	. . . . . . . . . 10 |- D = (dom` T)
9	8	eqcomi 1479	. . . . . . . . 9 |- (dom` T) = D
10	9	dmeqi 3312	. . . . . . . 8 |- dom (dom` T) = dom D
11	1, 10	eqtr 1495	. . . . . . 7 |- M = dom D
12		cmpmorp.3	. . . . . . 7 |- C = (cod` T)
13	11, 8, 12, 3	cmppfcd 10703	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> (<.G, F>. e. dom R <-> (D` G) = (C` F)))
14	13	biimpar 417	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) /\ (D` G) = (C` F)) -> <.G, F>. e. dom R)
15	7, 14	jca 288	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) /\ (D` G) = (C` F)) -> (Fun R /\ <.G, F>. e. dom R))
16	15	ex 373	. . 3 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (Fun R /\ <.G, F>. e. dom R)))
17		fnoprvalrn2 10470	. . 3 |- ((Fun R /\ <.G, F>. e. dom R) -> (GRF) e. ran R)
18	16, 17	syl6 22	. 2 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (GRF) e. ran R))
19		3simp3 790	. . 3 |- ((Fun R /\ dom R (_ (M X. M) /\ ran R (_ M) -> ran R (_ M)
20		ssel 2063	. . 3 |- (ran R (_ M -> ((GRF) e. ran R -> (GRF) e. M))
21	5, 19, 20	3syl 20	. 2 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((GRF) e. ran R -> (GRF) e. M))
22	18, 21	syld 27	1 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (GRF) e. M))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  <.cop 2411   X. cxp 3168  dom cdm 3170  ran crn 3171  Fun wfun 3176  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  domcdom_ 10644  codccod_ 10645  oco_ 10647  Catccat 10685

This theorem is referenced by:  homgrf 10730  idfisf 10760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-alg 10648  df-doma 10649  df-coda 10650  df-ida 10651  df-cmpa 10652  df-ded 10668  df-cat 10686

Copyright terms: Public domain