Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmppar3 Unicode version

Theorem cmppar3 26077
 Description: Morphisms composition is defined every time the codomain of the second operand matches the domain of the first one. (Contributed by FL, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cmppar3

Proof of Theorem cmppar3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmppar2 26075 . . . 4
32eleq2d 2363 . 2
4 elex 2809 . . . 4
6 elex 2809 . . . 4
8 eleq1 2356 . . . . 5
9 fveq2 5541 . . . . . 6
109eqeq1d 2304 . . . . 5
118, 103anbi13d 1254 . . . 4
12 eleq1 2356 . . . . 5
13 fveq2 5541 . . . . . 6
1413eqeq2d 2307 . . . . 5
1512, 143anbi23d 1255 . . . 4
1611, 15opelopabg 4299 . . 3
175, 7, 16syl2anc 642 . 2
18 ibar 490 . . . . 5
19183adant1 973 . . . 4
20 df-3an 936 . . . 4
2119, 20syl6rbbr 255 . . 3
22 domcatval 26033 . . . . . 6
23223adant3 975 . . . . 5
2423eqcomd 2301 . . . 4
25 codcatval 26039 . . . . . 6
26253adant2 974 . . . . 5
2726eqcomd 2301 . . . 4
2824, 27eqeq12d 2310 . . 3
2921, 28bitrd 244 . 2
303, 17, 293bitrd 270 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801  cop 3656  copab 4092   cdm 4705   ccom 4709  cfv 5271  c1st 6136  c2nd 6137  cgru 8428  ccmrcase 26013  cdomcase 26022  ccodcase 26035  crocase 26058 This theorem is referenced by:  setiscat  26082 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-domcatset 26023  df-codcatset 26036  df-rocatset 26059
 Copyright terms: Public domain W3C validator