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Theorem cmprltr 25513
Description: Composite of two right and left translations. Note that  x and  y can't be the same. See cmprltr2 25514 for a more general version. (Contributed by FL, 2-Jul-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cmprltr.1  |-  F  =  ( y  e.  X  |->  ( ( A G y ) G C ) )
cmprltr.2  |-  E  =  ( x  e.  X  |->  ( ( B G x ) G D ) )
cmprltr.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
cmprltr  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  ( F  o.  E )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, C, y    x, D, y   
x, F    x, G, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    E( x, y)    F( y)

Proof of Theorem cmprltr
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  G  e.  GrpOp )
2 simpl2r 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  X )
3 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
4 cmprltr.3 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
54grpocl 20883 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( B G x )  e.  X )
61, 2, 3, 5syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( B G x )  e.  X )
7 simpl3r 1011 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  X )
84grpocl 20883 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( B G x )  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  (
( B G x ) G D )  e.  X )
91, 6, 7, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( B G x ) G D )  e.  X )
10 cmprltr.2 . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  X  |->  ( ( B G x ) G D ) )
1110a1i 10 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  E  =  ( x  e.  X  |->  ( ( B G x ) G D ) ) )
12 cmprltr.1 . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  X  |->  ( ( A G y ) G C ) )
1312a1i 10 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  F  =  ( y  e.  X  |->  ( ( A G y ) G C ) ) )
14 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( B G x ) G D )  ->  ( A G y )  =  ( A G ( ( B G x ) G D ) ) )
1514oveq1d 5889 . . 3  |-  ( y  =  ( ( B G x ) G D )  ->  (
( A G y ) G C )  =  ( ( A G ( ( B G x ) G D ) ) G C ) )
169, 11, 13, 15fmptco 5707 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  ( F  o.  E )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A G ( ( B G x ) G D ) ) G C ) ) )
17 simpl2l 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  X )
184grpoass 20886 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( ( A G B ) G x )  =  ( A G ( B G x ) ) )
191, 17, 2, 3, 18syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( A G B ) G x )  =  ( A G ( B G x ) ) )
2019oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( A G B ) G x ) G D )  =  ( ( A G ( B G x ) ) G D ) )
214grpoass 20886 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  ( B G x )  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( A G ( B G x ) ) G D )  =  ( A G ( ( B G x ) G D ) ) )
221, 17, 6, 7, 21syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( A G ( B G x ) ) G D )  =  ( A G ( ( B G x ) G D ) ) )
2320, 22eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( A G B ) G x ) G D )  =  ( A G ( ( B G x ) G D ) ) )
2423oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ( A G B ) G x ) G D ) G C )  =  ( ( A G ( ( B G x ) G D ) ) G C ) )
254grpocl 20883 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
261, 17, 2, 25syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
274grpocl 20883 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
( A G B ) G x )  e.  X )
281, 26, 3, 27syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( A G B ) G x )  e.  X )
29 simpl3l 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  X )
304grpoass 20886 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( ( A G B ) G x )  e.  X  /\  D  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( (
( ( A G B ) G x ) G D ) G C )  =  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) )
311, 28, 7, 29, 30syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ( A G B ) G x ) G D ) G C )  =  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) )
3224, 31eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( A G ( ( B G x ) G D ) ) G C )  =  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) )
3332mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( A G ( ( B G x ) G D ) ) G C ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) ) )
3416, 33eqtrd 2328 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  ( F  o.  E )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    e. cmpt 4093   ran crn 4706    o. ccom 4709  (class class class)co 5874   GrpOpcgr 20869
This theorem is referenced by:  cmprltr2  25514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-ov 5877  df-grpo 20874
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