Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmprltr Unicode version

Theorem cmprltr 25513
 Description: Composite of two right and left translations. Note that and can't be the same. See cmprltr2 25514 for a more general version. (Contributed by FL, 2-Jul-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cmprltr.1
cmprltr.2
cmprltr.3
Assertion
Ref Expression
cmprltr
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem cmprltr
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4
2 simpl2r 1009 . . . . 5
3 simpr 447 . . . . 5
4 cmprltr.3 . . . . . 6
54grpocl 20883 . . . . 5
61, 2, 3, 5syl3anc 1182 . . . 4
7 simpl3r 1011 . . . 4
84grpocl 20883 . . . 4
91, 6, 7, 8syl3anc 1182 . . 3
10 cmprltr.2 . . . 4
1110a1i 10 . . 3
12 cmprltr.1 . . . 4
1312a1i 10 . . 3
14 oveq2 5882 . . . 4
1514oveq1d 5889 . . 3
169, 11, 13, 15fmptco 5707 . 2
17 simpl2l 1008 . . . . . . . 8
184grpoass 20886 . . . . . . . 8
191, 17, 2, 3, 18syl13anc 1184 . . . . . . 7
2019oveq1d 5889 . . . . . 6
214grpoass 20886 . . . . . . 7
221, 17, 6, 7, 21syl13anc 1184 . . . . . 6
2320, 22eqtrd 2328 . . . . 5
2423oveq1d 5889 . . . 4
254grpocl 20883 . . . . . . 7
261, 17, 2, 25syl3anc 1182 . . . . . 6
274grpocl 20883 . . . . . 6
281, 26, 3, 27syl3anc 1182 . . . . 5
29 simpl3l 1010 . . . . 5
304grpoass 20886 . . . . 5
311, 28, 7, 29, 30syl13anc 1184 . . . 4
3224, 31eqtr3d 2330 . . 3
3332mpteq2dva 4122 . 2
3416, 33eqtrd 2328 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   cmpt 4093   crn 4706   ccom 4709  (class class class)co 5874  cgr 20869 This theorem is referenced by:  cmprltr2  25514 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-ov 5877  df-grpo 20874
 Copyright terms: Public domain W3C validator