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Theorem cmprltr 25410
Description: Composite of two right and left translations. Note that  x and  y can't be the same. See cmprltr2 25411 for a more general version. (Contributed by FL, 2-Jul-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cmprltr.1  |-  F  =  ( y  e.  X  |->  ( ( A G y ) G C ) )
cmprltr.2  |-  E  =  ( x  e.  X  |->  ( ( B G x ) G D ) )
cmprltr.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
cmprltr  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  ( F  o.  E )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, C, y    x, D, y   
x, F    x, G, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    E( x, y)    F( y)

Proof of Theorem cmprltr
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  G  e.  GrpOp )
2 simpl2r 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  X )
3 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
4 cmprltr.3 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
54grpocl 20867 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( B G x )  e.  X )
61, 2, 3, 5syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( B G x )  e.  X )
7 simpl3r 1011 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  X )
84grpocl 20867 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( B G x )  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  (
( B G x ) G D )  e.  X )
91, 6, 7, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( B G x ) G D )  e.  X )
10 cmprltr.2 . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  X  |->  ( ( B G x ) G D ) )
1110a1i 10 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  E  =  ( x  e.  X  |->  ( ( B G x ) G D ) ) )
12 cmprltr.1 . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  X  |->  ( ( A G y ) G C ) )
1312a1i 10 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  F  =  ( y  e.  X  |->  ( ( A G y ) G C ) ) )
14 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( B G x ) G D )  ->  ( A G y )  =  ( A G ( ( B G x ) G D ) ) )
1514oveq1d 5873 . . 3  |-  ( y  =  ( ( B G x ) G D )  ->  (
( A G y ) G C )  =  ( ( A G ( ( B G x ) G D ) ) G C ) )
169, 11, 13, 15fmptco 5691 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  ( F  o.  E )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A G ( ( B G x ) G D ) ) G C ) ) )
17 simpl2l 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  X )
184grpoass 20870 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  x  e.  X )
)  ->  ( ( A G B ) G x )  =  ( A G ( B G x ) ) )
191, 17, 2, 3, 18syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( A G B ) G x )  =  ( A G ( B G x ) ) )
2019oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( A G B ) G x ) G D )  =  ( ( A G ( B G x ) ) G D ) )
214grpoass 20870 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  ( B G x )  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( A G ( B G x ) ) G D )  =  ( A G ( ( B G x ) G D ) ) )
221, 17, 6, 7, 21syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( A G ( B G x ) ) G D )  =  ( A G ( ( B G x ) G D ) ) )
2320, 22eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( A G B ) G x ) G D )  =  ( A G ( ( B G x ) G D ) ) )
2423oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ( A G B ) G x ) G D ) G C )  =  ( ( A G ( ( B G x ) G D ) ) G C ) )
254grpocl 20867 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
261, 17, 2, 25syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
274grpocl 20867 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G B )  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
( A G B ) G x )  e.  X )
281, 26, 3, 27syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( A G B ) G x )  e.  X )
29 simpl3l 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  X )
304grpoass 20870 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( ( A G B ) G x )  e.  X  /\  D  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( (
( ( A G B ) G x ) G D ) G C )  =  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) )
311, 28, 7, 29, 30syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ( A G B ) G x ) G D ) G C )  =  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) )
3224, 31eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( A G ( ( B G x ) G D ) ) G C )  =  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) )
3332mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( A G ( ( B G x ) G D ) ) G C ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) ) )
3416, 33eqtrd 2315 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( C  e.  X  /\  D  e.  X
) )  ->  ( F  o.  E )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( A G B ) G x ) G ( D G C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    e. cmpt 4077   ran crn 4690    o. ccom 4693  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853
This theorem is referenced by:  cmprltr2  25411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-grpo 20858
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