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Theorem cmpsublem 17462
Description: Lemma for cmpsub 17463. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jun-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cmpsublem  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
Distinct variable groups:    c, d,
s, t, J    S, c, d, s, t    X, c, d, s, t

Proof of Theorem cmpsublem
Dummy variables  x  y  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabexg 4353 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  e.  _V )
21ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  _V )
3 ssrab2 3428 . . . . . . 7  |-  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  C_  J
4 elpwg 3806 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  e.  _V  ->  ( { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  ~P J  <->  { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } 
C_  J ) )
53, 4mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  e.  _V  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  e.  ~P J )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  ~P J
)
7 unieq 4024 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  U. c  =  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } )
87sseq2d 3376 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( S  C_  U. c  <->  S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
9 pweq 3802 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ~P c  =  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } )
109ineq1d 3541 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( ~P c  i^i  Fin )  =  ( ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  i^i  Fin ) )
1110rexeqdv 2911 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d  <->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
128, 11imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  <->  ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) ) )
1312rspcva 3050 . . . . 5  |-  ( ( { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  ~P J  /\  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) )  -> 
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
146, 13sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  A. c  e.  ~P  J
( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )  ->  ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) )
1514ex 424 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) ) )
16 cmpsub.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
1716restuni 17226 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1817adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1918eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( S  =  U. s 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. s ) )
20 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
2120elpw 3805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ~P ( Jt  S )  <->  s  C_  ( Jt  S ) )
22 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  =  U. s  -> 
( t  e.  S  <->  t  e.  U. s ) )
23 eluni 4018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  U. s  <->  E. u
( t  e.  u  /\  u  e.  s
) )
2422, 23syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  U. s  -> 
( t  e.  S  <->  E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s ) ) )
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  <->  E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s ) ) )
26 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s 
C_  ( Jt  S )  ->  ( u  e.  s  ->  u  e.  ( Jt  S ) ) )
2716sseq2i 3373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( S 
C_  X  <->  S  C_  U. J
)
28 uniexg 4706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
29 ssexg 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  C_  U. J  /\  U. J  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
3029ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\  S  C_  U. J )  ->  S  e.  _V )
3128, 30sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  S  e.  _V )
3227, 31sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
33 elrest 13655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( Jt  S )  <->  E. w  e.  J  u  =  ( w  i^i  S ) ) )
3432, 33syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( u  e.  ( Jt  S )  <->  E. w  e.  J  u  =  ( w  i^i  S ) ) )
35 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  i^i  S )  C_  w
36 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  ( w  i^i 
S )  ->  (
u  C_  w  <->  ( w  i^i  S )  C_  w
) )
3735, 36mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  ( w  i^i 
S )  ->  u  C_  w )
3837sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( u  =  ( w  i^i  S )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  w )
39383ad2antl3 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  w )
40393adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  w )
41 simp12 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  w  e.  J )
42 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  ( w  i^i 
S )  ->  (
u  e.  s  <->  ( w  i^i  S )  e.  s ) )
4342biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( u  =  ( w  i^i  S )  /\  u  e.  s )  ->  ( w  i^i  S
)  e.  s )
44433ad2antl3 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s )  ->  (
w  i^i  S )  e.  s )
45443adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  (
w  i^i  S )  e.  s )
46 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  w  ->  (
y  i^i  S )  =  ( w  i^i 
S ) )
4746eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  i^i  S
)  e.  s  <->  ( w  i^i  S )  e.  s ) )
4847elrab 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  ( w  e.  J  /\  (
w  i^i  S )  e.  s ) )
4941, 45, 48sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  w  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } )
50 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  w  e. 
_V
51 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  w  ->  (
t  e.  v  <->  t  e.  w ) )
52 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  w  ->  (
v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  w  e.  { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
5351, 52anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  w  ->  (
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } )  <->  ( t  e.  w  /\  w  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) )
5450, 53spcev 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( t  e.  w  /\  w  e.  { y  e.  J  |  (
y  i^i  S )  e.  s } )  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) )
5540, 49, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
56553exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  w  e.  J  /\  u  =  (
w  i^i  S )
)  ->  ( u  e.  s  ->  ( t  e.  u  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) ) )
5756rexlimdv3a 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. w  e.  J  u  =  ( w  i^i  S )  ->  ( u  e.  s  ->  ( t  e.  u  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) ) ) )
5834, 57sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( u  e.  ( Jt  S )  ->  (
u  e.  s  -> 
( t  e.  u  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
5958com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( u  e.  s  ->  ( u  e.  ( Jt  S )  ->  (
t  e.  u  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
6059com4l 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  s  ->  (
u  e.  ( Jt  S )  ->  ( t  e.  u  ->  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
6126, 60sylcom 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s 
C_  ( Jt  S )  ->  ( u  e.  s  ->  ( t  e.  u  ->  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
6261com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  ( Jt  S )  ->  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  (
t  e.  u  -> 
( u  e.  s  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
6362impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  (
t  e.  u  -> 
( u  e.  s  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) )
6463imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  (
( t  e.  u  /\  u  e.  s
)  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6564exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  ( E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s )  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s )  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6725, 66sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6867ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  ( S  =  U. s  ->  ( t  e.  S  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) )
6921, 68sylan2b 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( S  =  U. s  ->  ( t  e.  S  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) ) )
7069imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
71 eluni 4018 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
7270, 71syl6ibr 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  ->  t  e. 
U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } ) )
7372ssrdv 3354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } )
74 pm2.27 37 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
75 elin 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  i^i  Fin )  <->  ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  /\  d  e.  Fin ) )
76 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  t  e. 
_V
77 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =  ( z  i^i  S )  <->  t  =  ( z  i^i  S
) ) )
7877rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  t  ->  ( E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S )  <->  E. z  e.  d  t  =  ( z  i^i  S
) ) )
7976, 78elab 3082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  <->  E. z  e.  d 
t  =  ( z  i^i  S ) )
80 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  d  e. 
_V
8180elpw 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  d  C_  { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } )
82 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
z  e.  d  -> 
z  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } ) )
83 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  z  ->  (
y  i^i  S )  =  ( z  i^i 
S ) )
8483eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  i^i  S
)  e.  s  <->  ( z  i^i  S )  e.  s ) )
8584elrab 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  ( z  e.  J  /\  (
z  i^i  S )  e.  s ) )
86 eleq1a 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  i^i  S )  e.  s  ->  (
t  =  ( z  i^i  S )  -> 
t  e.  s ) )
8786adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  J  /\  ( z  i^i  S
)  e.  s )  ->  ( t  =  ( z  i^i  S
)  ->  t  e.  s ) )
8885, 87sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
t  =  ( z  i^i  S )  -> 
t  e.  s ) )
8982, 88syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
z  e.  d  -> 
( t  =  ( z  i^i  S )  ->  t  e.  s ) ) )
9089a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  = 
U. s )  -> 
( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i  S
)  ->  t  e.  s ) ) ) )
9190a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( S  C_  U. d  -> 
( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i 
S )  ->  t  e.  s ) ) ) ) )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  C_  { y  e.  J  |  (
y  i^i  S )  e.  s }  /\  d  e.  Fin )  ->  ( S  C_  U. d  -> 
( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i 
S )  ->  t  e.  s ) ) ) ) )
9381, 92sylanb 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( d  e.  ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  /\  d  e.  Fin )  ->  ( S  C_  U. d  ->  ( (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i 
S )  ->  t  e.  s ) ) ) ) )
94933imp 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  (
z  e.  d  -> 
( t  =  ( z  i^i  S )  ->  t  e.  s ) ) )
9594rexlimdv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  ( E. z  e.  d 
t  =  ( z  i^i  S )  -> 
t  e.  s ) )
9679, 95syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  (
t  e.  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  ->  t  e.  s ) )
9796ssrdv 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) } 
C_  s )
9880abrexex 5983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  _V
9998elpw 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S
) }  e.  ~P s 
<->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }  C_  s )
10097, 99sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  ~P s )
101 abrexfi 7407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  Fin  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  Fin )
102101ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }  e.  Fin )
1031023adant3 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  Fin )
104 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S
) }  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) 
<->  ( { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  ~P s  /\  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S
) }  e.  Fin ) )
105100, 103, 104sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )
106 dfss 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  U. d  <->  S  =  ( S  i^i  U. d
) )
107106biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  U. d  ->  S  =  ( S  i^i  U. d ) )
108 uniiun 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. d  =  U_ z  e.  d  z
109108ineq2i 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  i^i  U. d )  =  ( S  i^i  U_ z  e.  d  z )
110 iunin2 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ z  e.  d  ( S  i^i  z )  =  ( S  i^i  U_ z  e.  d  z )
111 incom 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  i^i  z )  =  ( z  i^i  S
)
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  d  ->  ( S  i^i  z )  =  ( z  i^i  S
) )
113112iuneq2i 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ z  e.  d  ( S  i^i  z )  =  U_ z  e.  d  (
z  i^i  S )
114109, 110, 1133eqtr2i 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  i^i  U. d )  =  U_ z  e.  d  ( z  i^i 
S )
115107, 114syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  U. d  ->  S  =  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S
) )
1161153ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  S  =  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S
) )
11718ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  U. d  /\  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  = 
U. s ) )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1181173adant1 975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
119 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
120119inex1 4344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  i^i  S )  e. 
_V
121120dfiun2 4125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) } )
123116, 118, 1223eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) } )
124 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  ->  U. t  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) } )
125124eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. t 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) } ) )
126125rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  /\  U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S
) } )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )
127105, 123, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )
1281273exp 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( d  e.  ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  /\  d  e.  Fin )  ->  ( S  C_  U. d  ->  ( (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
12975, 128sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  i^i  Fin )  -> 
( S  C_  U. d  ->  ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
130129rexlimiv 2824 . . . . . . . . 9  |-  ( E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d  -> 
( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
13174, 130syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  ( (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
132131com3r 75 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( S  C_ 
U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
13373, 132mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
134133ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( S  =  U. s  ->  ( ( S 
C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
13519, 134sylbird 227 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  ( ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
136135com23 74 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
13715, 136syld 42 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
138137ralrimdva 2796 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   U_ciun 4093  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   ↾t crest 13648   Topctop 16958
This theorem is referenced by:  cmpsub  17463
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966
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