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Theorem cmptdst 25568
Description:  G  o.  F tends to  G ( A ) if  G is continuous at point  A and  F tends to A . Bourbaki TG I.50 cor. 2. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmptdst.y  |-  Y  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cmptdst  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )

Proof of Theorem cmptdst
Dummy variables  o  o'_  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
2 cmptdst.y . . . . 5  |-  Y  = 
U. J
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnpf 16977 . . . 4  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  G : Y --> U. K )
51, 4syl 15 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  G : Y --> U. K )
6 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  J  e.  Top )
72toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  Y ) )
86, 7sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  Y )
)
9 simpl3 960 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
10 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  F : X --> Y )
11 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
12 flfelbas 17689 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )  ->  A  e.  Y )
138, 9, 10, 11, 12syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A  e.  Y )
14 ffvelrn 5663 . . 3  |-  ( ( G : Y --> U. K  /\  A  e.  Y
)  ->  ( G `  A )  e.  U. K )
155, 13, 14syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  U. K )
16 isflf 17688 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) ) ) )
178, 9, 10, 16syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) ) ) )
18 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  K  e.  Top )
193toptopon 16671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
20 biid 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Y  <->  A  e.  Y )
21 iscnp3 16974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  Y )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  A  e.  Y
)  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( G : Y --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) ) ) ) )
227, 19, 20, 21syl3anb 1225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  e.  Y )  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <->  ( G : Y --> U. K  /\  A. o  e.  K  (
( G `  A
)  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) ) ) ) )
2322biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  e.  Y )  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( G : Y --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) ) ) ) )
246, 18, 13, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( G : Y --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) ) ) ) )
25 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. o  e.  K  (
( G `  A
)  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) )  ->  (
o  e.  K  -> 
( ( G `  A )  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) ) ) )
2625impcom 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  K  /\  A. o  e.  K  ( ( G `  A
)  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) ) )  -> 
( ( G `  A )  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) ) )
27 r19.29r 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  E. o'_  e.  J  ( ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  /\  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) ) )
28 pm3.35 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  o'_  /\  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o'_ )
29 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( F " s
)  C_  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  ->  ( F " s )  C_  ( `' G " o ) )
30 imaco 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( G  o.  F )
" s )  =  ( G " ( F " s ) )
31 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( G : Y --> U. K  ->  Fun  G )
32313ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( ( F "
s )  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  G : Y --> U. K  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  ->  Fun  G )
3332adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( ( F
" s )  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  G : Y --> U. K  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  /\  s  e.  L )  ->  Fun  G )
34 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( F
" s )  C_  ran  F
35 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
36353ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( F : X --> Y  /\  G : Y --> U. K  /\  s  e.  L
)  ->  ran  F  C_  Y )
37 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( G : Y --> U. K  ->  dom  G  =  Y )
38373ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( F : X --> Y  /\  G : Y --> U. K  /\  s  e.  L
)  ->  dom  G  =  Y )
3936, 38sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( F : X --> Y  /\  G : Y --> U. K  /\  s  e.  L
)  ->  ran  F  C_  dom  G )
4034, 39syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( F : X --> Y  /\  G : Y --> U. K  /\  s  e.  L
)  ->  ( F " s )  C_  dom  G )
41403exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( F : X --> Y  -> 
( G : Y --> U. K  ->  ( s  e.  L  ->  ( F " s )  C_  dom  G ) ) )
42413ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  (
s  e.  L  -> 
( F " s
)  C_  dom  G ) ) )
4342adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  ( s  e.  L  ->  ( F " s
)  C_  dom  G ) ) )
4443impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( G : Y --> U. K  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  -> 
( s  e.  L  ->  ( F " s
)  C_  dom  G ) )
45443adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( ( F "
s )  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  G : Y --> U. K  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  -> 
( s  e.  L  ->  ( F " s
)  C_  dom  G ) )
4645imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( ( F
" s )  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  G : Y --> U. K  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  /\  s  e.  L )  ->  ( F " s
)  C_  dom  G )
47 funimass3 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( Fun  G  /\  ( F " s )  C_  dom  G )  ->  (
( G " ( F " s ) ) 
C_  o  <->  ( F " s )  C_  ( `' G " o ) ) )
4847bicomd 192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( Fun  G  /\  ( F " s )  C_  dom  G )  ->  (
( F " s
)  C_  ( `' G " o )  <->  ( G " ( F " s
) )  C_  o
) )
4933, 46, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( ( F
" s )  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  G : Y --> U. K  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  /\  s  e.  L )  ->  ( ( F "
s )  C_  ( `' G " o )  <-> 
( G " ( F " s ) ) 
C_  o ) )
5049biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( F " s ) 
C_  ( `' G " o )  ->  (
( ( ( ( F " s ) 
C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y
)  /\  G : Y
--> U. K  /\  (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  /\  s  e.  L )  ->  ( G " ( F " s ) ) 
C_  o ) )
51503ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( F " s
)  C_  ( `' G " o )  /\  o'_ 
e.  J  /\  A  e.  Y )  ->  (
( ( ( ( F " s ) 
C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y
)  /\  G : Y
--> U. K  /\  (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  /\  s  e.  L )  ->  ( G " ( F " s ) ) 
C_  o ) )
52513ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( F "
s )  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  G : Y --> U. K  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( F " s
)  C_  ( `' G " o )  /\  o'_ 
e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  G : Y --> U. K  /\  (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  /\  s  e.  L )  ->  ( G " ( F " s ) ) 
C_  o ) )
5352anabsi5 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( ( F
" s )  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  G : Y --> U. K  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  /\  s  e.  L )  ->  ( G " ( F " s ) ) 
C_  o )
5430, 53syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( ( F
" s )  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  G : Y --> U. K  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) ) )  /\  s  e.  L )  ->  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
55543exp1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( F " s
)  C_  ( `' G " o )  /\  o'_ 
e.  J  /\  A  e.  Y )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
s  e.  L  -> 
( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) )
56553exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( F " s ) 
C_  ( `' G " o )  ->  ( o'_ 
e.  J  ->  ( A  e.  Y  ->  ( G : Y --> U. K  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
s  e.  L  -> 
( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) ) )
5729, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( F " s
)  C_  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  ->  ( o'_  e.  J  ->  ( A  e.  Y  ->  ( G : Y --> U. K  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
s  e.  L  -> 
( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) ) )
5857ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( F " s ) 
C_  o'_  ->  ( o'_  C_  ( `' G " o )  ->  ( o'_  e.  J  ->  ( A  e.  Y  ->  ( G : Y --> U. K  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
s  e.  L  -> 
( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) ) ) )
5958com4l 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( o'_  C_  ( `' G "
o )  ->  ( o'_ 
e.  J  ->  ( A  e.  Y  ->  ( ( F " s
)  C_  o'_  ->  ( G : Y --> U. K  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
s  e.  L  -> 
( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) ) ) )
60593imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( o'_  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y
)  ->  ( ( F " s )  C_  o'_ 
->  ( G : Y --> U. K  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
s  e.  L  -> 
( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) )
6160com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( o'_  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y
)  ->  ( (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  ( ( F "
s )  C_  o'_  ->  (
s  e.  L  -> 
( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) )
62613imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( o'_  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  /\  G : Y --> U. K )  -> 
( ( F "
s )  C_  o'_  ->  (
s  e.  L  -> 
( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) )
6362com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( o'_  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  /\  G : Y --> U. K )  -> 
( s  e.  L  ->  ( ( F "
s )  C_  o'_  ->  (
( G  o.  F
) " s ) 
C_  o ) ) )
6463reximdvai 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( o'_  C_  ( `' G " o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  /\  G : Y --> U. K )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  o'_  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) )
6564com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o'_  ->  ( (
( o'_  C_  ( `' G " o )  /\  o'_ 
e.  J  /\  A  e.  Y )  /\  (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  /\  G : Y --> U. K )  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
)
66653expd 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o'_  ->  ( ( o'_  C_  ( `' G "
o )  /\  o'_  e.  J  /\  A  e.  Y
)  ->  ( (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) )
67663expd 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o'_  ->  ( o'_  C_  ( `' G " o )  ->  ( o'_  e.  J  ->  ( A  e.  Y  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) ) )
6828, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  o'_  /\  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( o'_  C_  ( `' G " o )  ->  ( o'_  e.  J  ->  ( A  e.  Y  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) ) )
6968ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  o'_  ->  ( ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ )  -> 
( o'_  C_  ( `' G " o )  -> 
( o'_  e.  J  -> 
( A  e.  Y  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) ) ) )
7069com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  o'_  ->  ( o'_  C_  ( `' G " o )  ->  ( ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ )  -> 
( o'_  e.  J  -> 
( A  e.  Y  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) ) ) )
7170imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  /\  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( o'_  e.  J  ->  ( A  e.  Y  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) )
7271com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( o'_  e.  J  ->  ( ( ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  /\  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( A  e.  Y  ->  ( (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) )
7372rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. o'_  e.  J  ( ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  /\  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( A  e.  Y  ->  ( (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) )
7427, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( A  e.  Y  ->  ( (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) )
7574ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  ->  ( A. o'_ 
e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ )  -> 
( A  e.  Y  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) ) )
7675com5l 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. o'_ 
e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ )  -> 
( A  e.  Y  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  ( E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) ) )
7776impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  ( E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) )
7877com13 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : Y --> U. K  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) )
79783imp 1145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : Y --> U. K  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  /\  ( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) ) )  ->  ( E. o'_ 
e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) )  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) )
8026, 79syl9 66 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  e.  K  /\  A. o  e.  K  ( ( G `  A
)  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) ) )  -> 
( ( G : Y
--> U. K  /\  (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  /\  ( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) ) )  ->  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) )
8180ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  e.  K  ->  ( A. o  e.  K  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) )  ->  (
( G : Y --> U. K  /\  (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  /\  ( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) ) )  ->  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) )
8281com3l 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. o  e.  K  (
( G `  A
)  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) )  ->  (
( G : Y --> U. K  /\  (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  /\  ( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) ) )  ->  ( o  e.  K  ->  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) )
83823expd 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. o  e.  K  (
( G `  A
)  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) )  ->  ( G : Y --> U. K  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( o  e.  K  ->  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) ) ) )
8483impcom 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : Y --> U. K  /\  A. o  e.  K  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  /\  o'_  C_  ( `' G " o ) ) ) )  -> 
( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( o  e.  K  ->  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) ) )
8524, 84syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  (
( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( o  e.  K  ->  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) ) ) )
8685pm2.43b 46 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  (
( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( o  e.  K  ->  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) ) )
87863ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( (
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( o  e.  K  ->  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) ) )
8887anabsi7 792 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( A  e.  Y  /\  A. o'_  e.  J  ( A  e.  o'_  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o'_ ) )  ->  ( o  e.  K  ->  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) ) ) )
8917, 88sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  ->  (
o  e.  K  -> 
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)  C_  o )
) ) )
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o  e.  K  -> 
( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) )
9190ralrimiv 2625 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A. o  e.  K  ( ( G `  A )  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s )  C_  o ) )
9218, 19sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
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95 isflf 17688 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( G  o.  F ) : X --> U. K )  ->  (
( G `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F
) )  <->  ( ( G `  A )  e.  U. K  /\  A. o  e.  K  (
( G `  A
)  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) )
9692, 9, 94, 95syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( G `  A
)  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F
) )  <->  ( ( G `  A )  e.  U. K  /\  A. o  e.  K  (
( G `  A
)  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( ( G  o.  F ) " s
)  C_  o )
) ) )
9715, 91, 96mpbir2and 888 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955   Filcfil 17540    fLimf cflf 17630
This theorem is referenced by:  cmptdst2  25571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-cnp 16958  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635
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