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Theorem cmptdst2 25571
Description:  G  o.  F tends to  G ( L1 ) if  G is continuous at point  L1 and  F tends to  L1. (cmptdst 25568 in the Hausdorff case.) Bourbaki TG I.50 cor. 2. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmptdst2.y  |-  Y  = 
U. J
cmptdst2.l1  |-  L1  =  U. ( ( J  fLimf  L ) `  F )
cmptdst2.l2  |-  L 2  =  U. ( ( K 
fLimf  L ) `  ( G  o.  F )
)
Assertion
Ref Expression
cmptdst2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  L 2  =  ( G `  L1 ) )

Proof of Theorem cmptdst2
StepHypRef Expression
1 simpl2 959 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  K  e.  Haus )
2 simpl3 960 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
3 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
)
4 cmptdst2.y . . . . 5  |-  Y  = 
U. J
5 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
64, 5cnpf 16977 . . . 4  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )  ->  G : Y
--> U. K )
73, 6syl 15 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  G : Y --> U. K )
8 simpr1 961 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  F : X --> Y )
9 fco 5398 . . 3  |-  ( ( G : Y --> U. K  /\  F : X --> Y )  ->  ( G  o.  F ) : X --> U. K )
107, 8, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  ( G  o.  F ) : X --> U. K )
11 haustop 17059 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
12 haustop 17059 . . . . 5  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
13 id 19 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
1411, 12, 133anim123i 1137 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e. 
Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) ) )
1514adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) ) )
16 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  J  e.  Haus )
17 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/) )
18 cmptdst2.l1 . . . . 5  |-  L1  =  U. ( ( J  fLimf  L ) `  F )
194, 18limvinlv 25559 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/) )  ->  L1  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
2016, 2, 8, 17, 19syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  L1  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
214cmptdst 25568 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  L1  e.  ( ( J 
fLimf  L ) `  F
)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  ( G `  L1 )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )
2215, 8, 20, 3, 21syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  ( G `  L1 )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )
23 cmptdst2.l2 . . 3  |-  L 2  =  U. ( ( K 
fLimf  L ) `  ( G  o.  F )
)
245, 23limhun 25570 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( G  o.  F ) : X --> U. K )  /\  ( G `  L1 )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )  ->  L 2  =  ( G `  L1 ) )
251, 2, 10, 22, 24syl31anc 1185 1  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  L 2  =  ( G `  L1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   U.cuni 3827    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631    CnP ccnp 16955   Hauscha 17036   Filcfil 17540    fLimf cflf 17630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-map 6774  df-en 6864  df-top 16636  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635
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