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Theorem cmptdst2 25674
Description:  G  o.  F tends to  G ( L1 ) if  G is continuous at point  L1 and  F tends to  L1. (cmptdst 25671 in the Hausdorff case.) Bourbaki TG I.50 cor. 2. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmptdst2.y  |-  Y  = 
U. J
cmptdst2.l1  |-  L1  =  U. ( ( J  fLimf  L ) `  F )
cmptdst2.l2  |-  L 2  =  U. ( ( K 
fLimf  L ) `  ( G  o.  F )
)
Assertion
Ref Expression
cmptdst2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  L 2  =  ( G `  L1 ) )

Proof of Theorem cmptdst2
StepHypRef Expression
1 simpl2 959 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  K  e.  Haus )
2 simpl3 960 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
3 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
)
4 cmptdst2.y . . . . 5  |-  Y  = 
U. J
5 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
64, 5cnpf 16993 . . . 4  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )  ->  G : Y
--> U. K )
73, 6syl 15 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  G : Y --> U. K )
8 simpr1 961 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  F : X --> Y )
9 fco 5414 . . 3  |-  ( ( G : Y --> U. K  /\  F : X --> Y )  ->  ( G  o.  F ) : X --> U. K )
107, 8, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  ( G  o.  F ) : X --> U. K )
11 haustop 17075 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
12 haustop 17075 . . . . 5  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
13 id 19 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
1411, 12, 133anim123i 1137 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e. 
Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) ) )
1514adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X
) ) )
16 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  J  e.  Haus )
17 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =/=  (/) )
18 cmptdst2.l1 . . . . 5  |-  L1  =  U. ( ( J  fLimf  L ) `  F )
194, 18limvinlv 25662 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/) )  ->  L1  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
2016, 2, 8, 17, 19syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  L1  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
214cmptdst 25671 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  X ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  L1  e.  ( ( J 
fLimf  L ) `  F
)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  ( G `  L1 )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )
2215, 8, 20, 3, 21syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  ( G `  L1 )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )
23 cmptdst2.l2 . . 3  |-  L 2  =  U. ( ( K 
fLimf  L ) `  ( G  o.  F )
)
245, 23limhun 25673 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( G  o.  F ) : X --> U. K )  /\  ( G `  L1 )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )  ->  L 2  =  ( G `  L1 ) )
251, 2, 10, 22, 24syl31anc 1185 1  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  K  e.  Haus  /\  L  e.  ( Fil `  X
) )  /\  ( F : X --> Y  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  =/=  (/)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  L1 )
) )  ->  L 2  =  ( G `  L1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   U.cuni 3843    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647    CnP ccnp 16971   Hauscha 17052   Filcfil 17556    fLimf cflf 17646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6495  df-map 6790  df-en 6880  df-top 16652  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651
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