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Theorem cmtbr4N 29445
Description: Alternate definition for the commutes relation. (cmbr4i 22180 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtbr4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cmtbr4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cmtbr4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cmtbr4.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmtbr4.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtbr4N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )

Proof of Theorem cmtbr4N
StepHypRef Expression
1 cmtbr4.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmtbr4.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 cmtbr4.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 cmtbr4.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
5 cmtbr4.c . . 3  |-  C  =  ( cm `  K
)
61, 2, 3, 4, 5cmtbr3N 29444 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
7 omllat 29432 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
8 cmtbr4.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
91, 8, 3latmle2 14183 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
107, 9syl3an1 1215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
11 breq1 4026 . . . 4  |-  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y ) )
1210, 11syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  -> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )
1373ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
14 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
15 omlop 29431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
16153ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
171, 4opoccl 29384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
1816, 14, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
19 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
201, 2latjcl 14156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y )  e.  B
)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )
221, 8, 3latmle1 14182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  X )
2313, 14, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X )
2423anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y )  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) )
2524ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) ) )
261, 3latmcl 14157 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  e.  B
)
2713, 14, 21, 26syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  e.  B )
281, 8, 3latlem12 14184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y )  <->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  ( X  ./\  Y ) ) )
2913, 27, 14, 19, 28syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X  ./\  Y ) ) )
3025, 29sylibd 205 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
311, 8, 2latlej2 14167 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)
3213, 18, 19, 31syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )
331, 8, 3latmlem2 14188 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Y  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( Y  .<_  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) ) ) )
3413, 19, 21, 14, 33syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .<_  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) ) ) )
3532, 34mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) )
3630, 35jctird 528 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) ) ) )
371, 3latmcl 14157 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
387, 37syl3an1 1215 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
391, 8latasymb 14160 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
4013, 27, 38, 39syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
4136, 40sylibd 205 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  =  ( X  ./\  Y )
) )
4212, 41impbid 183 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) )
436, 42bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   occoc 13216   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151   OPcops 29362   cmccmtN 29363   OMLcoml 29365
This theorem is referenced by:  lecmtN  29446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-lat 14152  df-oposet 29366  df-cmtN 29367  df-ol 29368  df-oml 29369
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