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Theorem cmtbr4N 30115
Description: Alternate definition for the commutes relation. (cmbr4i 23105 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtbr4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cmtbr4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cmtbr4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cmtbr4.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmtbr4.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtbr4N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )

Proof of Theorem cmtbr4N
StepHypRef Expression
1 cmtbr4.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmtbr4.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 cmtbr4.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 cmtbr4.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
5 cmtbr4.c . . 3  |-  C  =  ( cm `  K
)
61, 2, 3, 4, 5cmtbr3N 30114 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
7 omllat 30102 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
8 cmtbr4.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
91, 8, 3latmle2 14508 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
107, 9syl3an1 1218 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
11 breq1 4217 . . . 4  |-  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y ) )
1210, 11syl5ibrcom 215 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  -> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )
1373ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
14 simp2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
15 omlop 30101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
16153ad2ant1 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
171, 4opoccl 30054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
1816, 14, 17syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
19 simp3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
201, 2latjcl 14481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y )  e.  B
)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )
221, 8, 3latmle1 14507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  X )
2313, 14, 21, 22syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X )
2423anim1i 553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y )  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) )
2524ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) ) )
261, 3latmcl 14482 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  e.  B
)
2713, 14, 21, 26syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  e.  B )
281, 8, 3latlem12 14509 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y )  <->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  ( X  ./\  Y ) ) )
2913, 27, 14, 19, 28syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X  ./\  Y ) ) )
3025, 29sylibd 207 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
311, 8, 2latlej2 14492 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)
3213, 18, 19, 31syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )
331, 8, 3latmlem2 14513 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Y  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( Y  .<_  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) ) ) )
3413, 19, 21, 14, 33syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .<_  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) ) ) )
3532, 34mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) )
3630, 35jctird 530 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) ) ) )
371, 3latmcl 14482 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
387, 37syl3an1 1218 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
391, 8latasymb 14485 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
4013, 27, 38, 39syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
4136, 40sylibd 207 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  =  ( X  ./\  Y )
) )
4212, 41impbid 185 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) )
436, 42bitrd 246 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   lecple 13538   occoc 13539   joincjn 14403   meetcmee 14404   Latclat 14476   OPcops 30032   cmccmtN 30033   OMLcoml 30035
This theorem is referenced by:  lecmtN  30116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-lat 14477  df-oposet 30036  df-cmtN 30037  df-ol 30038  df-oml 30039
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