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Theorem cmtbr4N 30067
Description: Alternate definition for the commutes relation. (cmbr4i 22196 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtbr4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cmtbr4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cmtbr4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cmtbr4.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmtbr4.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtbr4N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )

Proof of Theorem cmtbr4N
StepHypRef Expression
1 cmtbr4.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmtbr4.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 cmtbr4.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 cmtbr4.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
5 cmtbr4.c . . 3  |-  C  =  ( cm `  K
)
61, 2, 3, 4, 5cmtbr3N 30066 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
7 omllat 30054 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
8 cmtbr4.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
91, 8, 3latmle2 14199 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
107, 9syl3an1 1215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
11 breq1 4042 . . . 4  |-  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y ) )
1210, 11syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  -> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )
1373ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
14 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
15 omlop 30053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
16153ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
171, 4opoccl 30006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
1816, 14, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
19 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
201, 2latjcl 14172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y )  e.  B
)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )
221, 8, 3latmle1 14198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  X )
2313, 14, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X )
2423anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y )  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) )
2524ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) ) )
261, 3latmcl 14173 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  e.  B
)
2713, 14, 21, 26syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  e.  B )
281, 8, 3latlem12 14200 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y )  <->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  ( X  ./\  Y ) ) )
2913, 27, 14, 19, 28syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X  ./\  Y ) ) )
3025, 29sylibd 205 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
311, 8, 2latlej2 14183 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)
3213, 18, 19, 31syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )
331, 8, 3latmlem2 14204 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Y  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( Y  .<_  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) ) ) )
3413, 19, 21, 14, 33syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .<_  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) ) ) )
3532, 34mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) )
3630, 35jctird 528 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) ) ) )
371, 3latmcl 14173 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
387, 37syl3an1 1215 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
391, 8latasymb 14176 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
4013, 27, 38, 39syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
4136, 40sylibd 205 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  =  ( X  ./\  Y )
) )
4212, 41impbid 183 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) )
436, 42bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   occoc 13232   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   OPcops 29984   cmccmtN 29985   OMLcoml 29987
This theorem is referenced by:  lecmtN  30068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-lat 14168  df-oposet 29988  df-cmtN 29989  df-ol 29990  df-oml 29991
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