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Theorem cmtcomlemN 30120
Description: Lemma for cmtcomN 30121. (cmcmlem 23098 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtcom.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtcom.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtcomlemN  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  Y C X ) )

Proof of Theorem cmtcomlemN
StepHypRef Expression
1 omllat 30114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
213ad2ant1 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
3 omlop 30113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
4 cmtcom.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
64, 5opoccl 30066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
73, 6sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
873adant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
9 simp3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
10 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
11 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
124, 10, 11latlej2 14495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) )
132, 8, 9, 12syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) )
144, 11latjcl 14484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y )  e.  B )
152, 8, 9, 14syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y )  e.  B )
16 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
174, 10, 16latleeqm2 14514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y )  e.  B )  -> 
( Y ( le
`  K ) ( ( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y )  <->  ( (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) (
meet `  K ) Y )  =  Y ) )
182, 9, 15, 17syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y ( le
`  K ) ( ( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y )  <->  ( (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) (
meet `  K ) Y )  =  Y ) )
1913, 18mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K ) Y ) ( meet `  K ) Y )  =  Y )
2019oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) (
meet `  K ) Y ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) Y ) )
21 omlol 30112 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
22213ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
2333ad2ant1 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
244, 5opoccl 30066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
2523, 9, 24syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
264, 11latjcl 14484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) )  e.  B
)
272, 8, 25, 26syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) )  e.  B )
284, 16latmassOLD 30101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) )  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ( meet `  K ) Y ) ) )
2922, 27, 15, 9, 28syl13anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ( meet `  K ) Y ) ) )
304, 11, 16, 5oldmm1 30089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
3121, 30syl3an1 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
3231oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) ) ( meet `  K
) Y )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) Y ) )
3320, 29, 323eqtr4rd 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) ) ( meet `  K
) Y )  =  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y ) )
3433adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 ( X (
meet `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y ) )
354, 11, 16, 5oldmj4 30096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) )  =  ( X (
meet `  K ) Y ) )
3621, 35syl3an1 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) )  =  ( X (
meet `  K ) Y ) )
374, 11, 16, 5oldmj2 30094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) )  =  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
3821, 37syl3an1 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) )  =  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
3936, 38oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) )  =  ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )
4039eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) ) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) )  <->  X  =  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) ) ) )
4140biimpar 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  X  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) ) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) ) )
4241fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  =  ( ( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) ) ) ) )
434, 11, 16, 5oldmj4 30096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) )  e.  B  /\  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y )  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) ) ) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ( meet `  K
) ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K ) Y ) ) )
4422, 27, 15, 43syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) ) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) )
4544adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) )
4642, 45eqtr2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) )  =  ( ( oc `  K ) `  X
) )
4746oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) ( meet `  K
) Y )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) Y ) )
4834, 47eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 ( X (
meet `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y )  =  ( ( ( oc `  K ) `  X
) ( meet `  K
) Y ) )
4948oveq2d 6100 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) ) ( meet `  K
) Y ) )  =  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) Y ) ) )
50 simp1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
514, 16latmcl 14485 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B )
521, 51syl3an1 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B )
5350, 52, 93jca 1135 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( K  e.  OML  /\  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
544, 10, 16latmle2 14511 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y ) ( le `  K
) Y )
551, 54syl3an1 1218 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y ) ( le `  K
) Y )
564, 10, 11, 16, 5omllaw2N 30116 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X ( meet `  K
) Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( le `  K
) Y  ->  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( ( ( oc `  K ) `
 ( X (
meet `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y ) )  =  Y ) )
5753, 55, 56sylc 59 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  ( X
( meet `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y ) )  =  Y )
5857adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) ) ( meet `  K
) Y ) )  =  Y )
594, 16latmcom 14509 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  =  ( Y (
meet `  K ) X ) )
601, 59syl3an1 1218 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  =  ( Y (
meet `  K ) X ) )
614, 16latmcom 14509 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) Y )  =  ( Y (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  X
) ) )
622, 8, 9, 61syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) Y )  =  ( Y (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  X
) ) )
6360, 62oveq12d 6102 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( meet `  K ) Y ) )  =  ( ( Y (
meet `  K ) X ) ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  X ) ) ) )
6463adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) Y ) )  =  ( ( Y ( meet `  K
) X ) (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 X ) ) ) )
6549, 58, 643eqtr3d 2478 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  Y  =  ( ( Y ( meet `  K ) X ) ( join `  K
) ( Y (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  X
) ) ) )
6665ex 425 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  ->  Y  =  ( ( Y ( meet `  K
) X ) (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 X ) ) ) ) )
67 cmtcom.c . . 3  |-  C  =  ( cm `  K
)
684, 11, 16, 5, 67cmtvalN 30083 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ) ) )
694, 11, 16, 5, 67cmtvalN 30083 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y  =  ( ( Y ( meet `  K
) X ) (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 X ) ) ) ) )
70693com23 1160 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y  =  ( ( Y ( meet `  K
) X ) (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 X ) ) ) ) )
7166, 68, 703imtr4d 261 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  Y C X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   occoc 13542   joincjn 14406   meetcmee 14407   Latclat 14479   OPcops 30044   cmccmtN 30045   OLcol 30046   OMLcoml 30047
This theorem is referenced by:  cmtcomN  30121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-lat 14480  df-oposet 30048  df-cmtN 30049  df-ol 30050  df-oml 30051
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