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Theorem cmtcomlemN 29497
Description: Lemma for cmtcomN 29498. (cmcmlem 22604 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtcom.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtcom.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtcomlemN  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  Y C X ) )

Proof of Theorem cmtcomlemN
StepHypRef Expression
1 omllat 29491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
213ad2ant1 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
3 omlop 29490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
4 cmtcom.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
64, 5opoccl 29443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
73, 6sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
873adant3 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
9 simp3 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
10 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
11 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
124, 10, 11latlej2 14377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) )
132, 8, 9, 12syl3anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) )
144, 11latjcl 14366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y )  e.  B )
152, 8, 9, 14syl3anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y )  e.  B )
16 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
174, 10, 16latleeqm2 14396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y )  e.  B )  -> 
( Y ( le
`  K ) ( ( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y )  <->  ( (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) (
meet `  K ) Y )  =  Y ) )
182, 9, 15, 17syl3anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y ( le
`  K ) ( ( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y )  <->  ( (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) (
meet `  K ) Y )  =  Y ) )
1913, 18mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K ) Y ) ( meet `  K ) Y )  =  Y )
2019oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) (
meet `  K ) Y ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) Y ) )
21 omlol 29489 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
22213ad2ant1 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
2333ad2ant1 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
244, 5opoccl 29443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
2523, 9, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
264, 11latjcl 14366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) )  e.  B
)
272, 8, 25, 26syl3anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) )  e.  B )
284, 16latmassOLD 29478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) )  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ( meet `  K ) Y ) ) )
2922, 27, 15, 9, 28syl13anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ( meet `  K ) Y ) ) )
304, 11, 16, 5oldmm1 29466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
3121, 30syl3an1 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
3231oveq1d 5996 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) ) ( meet `  K
) Y )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) Y ) )
3320, 29, 323eqtr4rd 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) ) ( meet `  K
) Y )  =  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y ) )
3433adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 ( X (
meet `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y ) )
354, 11, 16, 5oldmj4 29473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) )  =  ( X (
meet `  K ) Y ) )
3621, 35syl3an1 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) )  =  ( X (
meet `  K ) Y ) )
374, 11, 16, 5oldmj2 29471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) )  =  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
3821, 37syl3an1 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) )  =  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
3936, 38oveq12d 5999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) )  =  ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )
4039eqeq2d 2377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) ) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) )  <->  X  =  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) ) ) )
4140biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  X  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) ) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) ) )
4241fveq2d 5636 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  =  ( ( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) ) ) ) )
434, 11, 16, 5oldmj4 29473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) )  e.  B  /\  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y )  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  ( (
( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) Y ) ) ) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ( meet `  K
) ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K ) Y ) ) )
4422, 27, 15, 43syl3anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  (
( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) ) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) )
4544adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) ) )
4642, 45eqtr2d 2399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( join `  K ) Y ) )  =  ( ( oc `  K ) `  X
) )
4746oveq1d 5996 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
) ( join `  K
) ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( join `  K ) Y ) ) ( meet `  K
) Y )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) Y ) )
4834, 47eqtrd 2398 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 ( X (
meet `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y )  =  ( ( ( oc `  K ) `  X
) ( meet `  K
) Y ) )
4948oveq2d 5997 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) ) ( meet `  K
) Y ) )  =  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) Y ) ) )
50 simp1 956 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
514, 16latmcl 14367 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B )
521, 51syl3an1 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B )
5350, 52, 93jca 1133 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( K  e.  OML  /\  ( X ( meet `  K ) Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
544, 10, 16latmle2 14393 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y ) ( le `  K
) Y )
551, 54syl3an1 1216 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y ) ( le `  K
) Y )
564, 10, 11, 16, 5omllaw2N 29493 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X ( meet `  K
) Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( le `  K
) Y  ->  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( ( ( oc `  K ) `
 ( X (
meet `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y ) )  =  Y ) )
5753, 55, 56sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  ( X
( meet `  K ) Y ) ) (
meet `  K ) Y ) )  =  Y )
5857adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) Y ) ) ( meet `  K
) Y ) )  =  Y )
594, 16latmcom 14391 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  =  ( Y (
meet `  K ) X ) )
601, 59syl3an1 1216 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) Y )  =  ( Y (
meet `  K ) X ) )
614, 16latmcom 14391 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) Y )  =  ( Y (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  X
) ) )
622, 8, 9, 61syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) Y )  =  ( Y (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  X
) ) )
6360, 62oveq12d 5999 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X (
meet `  K ) Y ) ( join `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  X )
( meet `  K ) Y ) )  =  ( ( Y (
meet `  K ) X ) ( join `  K ) ( Y ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  X ) ) ) )
6463adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) Y ) )  =  ( ( Y ( meet `  K
) X ) (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 X ) ) ) )
6549, 58, 643eqtr3d 2406 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  =  (
( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )  ->  Y  =  ( ( Y ( meet `  K ) X ) ( join `  K
) ( Y (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  X
) ) ) )
6665ex 423 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  ( ( X ( meet `  K ) Y ) ( join `  K
) ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  ->  Y  =  ( ( Y ( meet `  K
) X ) (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 X ) ) ) ) )
67 cmtcom.c . . 3  |-  C  =  ( cm `  K
)
684, 11, 16, 5, 67cmtvalN 29460 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X ( meet `  K
) Y ) (
join `  K )
( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) ) ) )
694, 11, 16, 5, 67cmtvalN 29460 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y  =  ( ( Y ( meet `  K
) X ) (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 X ) ) ) ) )
70693com23 1158 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y  =  ( ( Y ( meet `  K
) X ) (
join `  K )
( Y ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 X ) ) ) ) )
7166, 68, 703imtr4d 259 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  Y C X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   lecple 13423   occoc 13424   joincjn 14288   meetcmee 14289   Latclat 14361   OPcops 29421   cmccmtN 29422   OLcol 29423   OMLcoml 29424
This theorem is referenced by:  cmtcomN  29498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-undef 6440  df-riota 6446  df-poset 14290  df-lub 14318  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-lat 14362  df-oposet 29425  df-cmtN 29426  df-ol 29427  df-oml 29428
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