Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmvth Unicode version

Theorem cmvth 19354
 Description: Cauchy's Mean Value Theorem. If are real continuous functions on differentiable on , then there is some such that ' ' . (We express the condition without division, so that we need no nonzero constraints.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cmvth.a
cmvth.b
cmvth.lt
cmvth.f
cmvth.g
cmvth.df
cmvth.dg
Assertion
Ref Expression
cmvth
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cmvth
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmvth.a . . 3
2 cmvth.b . . 3
3 cmvth.lt . . 3
4 eqid 2296 . . . 4 fld fld
54subcn 18386 . . . 4 fld fld fld
64mulcn 18387 . . . . 5 fld fld fld
7 cmvth.f . . . . . . . . 9
8 cncff 18413 . . . . . . . . 9
97, 8syl 15 . . . . . . . 8
101rexrd 8897 . . . . . . . . 9
112rexrd 8897 . . . . . . . . 9
121, 2, 3ltled 8983 . . . . . . . . 9
13 ubicc2 10769 . . . . . . . . 9
1410, 11, 12, 13syl3anc 1182 . . . . . . . 8
159, 14ffvelrnd 5682 . . . . . . 7
16 lbicc2 10768 . . . . . . . . 9
1710, 11, 12, 16syl3anc 1182 . . . . . . . 8
189, 17ffvelrnd 5682 . . . . . . 7
1915, 18resubcld 9227 . . . . . 6
20 iccssre 10747 . . . . . . . 8
211, 2, 20syl2anc 642 . . . . . . 7
22 ax-resscn 8810 . . . . . . 7
2321, 22syl6ss 3204 . . . . . 6
2422a1i 10 . . . . . 6
25 cncfmptc 18431 . . . . . 6
2619, 23, 24, 25syl3anc 1182 . . . . 5
27 cmvth.g . . . . . . . 8
28 cncff 18413 . . . . . . . 8
2927, 28syl 15 . . . . . . 7
3029feqmptd 5591 . . . . . 6
3130, 27eqeltrrd 2371 . . . . 5
32 remulcl 8838 . . . . 5
334, 6, 26, 31, 22, 32cncfmpt2ss 18435 . . . 4
3429, 14ffvelrnd 5682 . . . . . . 7
3529, 17ffvelrnd 5682 . . . . . . 7
3634, 35resubcld 9227 . . . . . 6
37 cncfmptc 18431 . . . . . 6
3836, 23, 24, 37syl3anc 1182 . . . . 5
399feqmptd 5591 . . . . . 6
4039, 7eqeltrrd 2371 . . . . 5
41 remulcl 8838 . . . . 5
424, 6, 38, 40, 22, 41cncfmpt2ss 18435 . . . 4
43 resubcl 9127 . . . 4
444, 5, 33, 42, 22, 43cncfmpt2ss 18435 . . 3
4519recnd 8877 . . . . . . . . . 10
4645adantr 451 . . . . . . . . 9
4729ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . 10
4847recnd 8877 . . . . . . . . 9
4946, 48mulcld 8871 . . . . . . . 8
5036adantr 451 . . . . . . . . . 10
519ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . 10
5250, 51remulcld 8879 . . . . . . . . 9
5352recnd 8877 . . . . . . . 8
5449, 53subcld 9173 . . . . . . 7
554tgioo2 18325 . . . . . . 7 fldt
56 iccntr 18342 . . . . . . . 8
571, 2, 56syl2anc 642 . . . . . . 7
5824, 21, 54, 55, 4, 57dvmptntr 19336 . . . . . 6
59 reex 8844 . . . . . . . . 9
6059prid1 3747 . . . . . . . 8
6160a1i 10 . . . . . . 7
62 ioossicc 10751 . . . . . . . . 9
6362sseli 3189 . . . . . . . 8
6463, 49sylan2 460 . . . . . . 7
65 ovex 5899 . . . . . . . 8
6665a1i 10 . . . . . . 7
6763, 48sylan2 460 . . . . . . . 8
68 fvex 5555 . . . . . . . . 9
6968a1i 10 . . . . . . . 8
7030oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
71 dvf 19273 . . . . . . . . . . 11
72 cmvth.dg . . . . . . . . . . . 12
7372feq2d 5396 . . . . . . . . . . 11
7471, 73mpbii 202 . . . . . . . . . 10
7574feqmptd 5591 . . . . . . . . 9
7624, 21, 48, 55, 4, 57dvmptntr 19336 . . . . . . . . 9
7770, 75, 763eqtr3rd 2337 . . . . . . . 8
7861, 67, 69, 77, 45dvmptcmul 19329 . . . . . . 7
7963, 53sylan2 460 . . . . . . 7
80 ovex 5899 . . . . . . . 8
8180a1i 10 . . . . . . 7
8251recnd 8877 . . . . . . . . 9
8363, 82sylan2 460 . . . . . . . 8
84 fvex 5555 . . . . . . . . 9
8584a1i 10 . . . . . . . 8
8639oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
87 dvf 19273 . . . . . . . . . . 11
88 cmvth.df . . . . . . . . . . . 12
8988feq2d 5396 . . . . . . . . . . 11
9087, 89mpbii 202 . . . . . . . . . 10
9190feqmptd 5591 . . . . . . . . 9
9224, 21, 82, 55, 4, 57dvmptntr 19336 . . . . . . . . 9
9386, 91, 923eqtr3rd 2337 . . . . . . . 8
9436recnd 8877 . . . . . . . 8
9561, 83, 85, 93, 94dvmptcmul 19329 . . . . . . 7
9661, 64, 66, 78, 79, 81, 95dvmptsub 19332 . . . . . 6
9758, 96eqtrd 2328 . . . . 5
9897dmeqd 4897 . . . 4
99 ovex 5899 . . . . 5
100 eqid 2296 . . . . 5
10199, 100dmmpti 5389 . . . 4
10298, 101syl6eq 2344 . . 3
10315recnd 8877 . . . . . . . 8
10435recnd 8877 . . . . . . . 8
105103, 104mulcld 8871 . . . . . . 7
10618recnd 8877 . . . . . . . 8
10734recnd 8877 . . . . . . . 8
108106, 107mulcld 8871 . . . . . . 7
109106, 104mulcld 8871 . . . . . . 7
110105, 108, 109nnncan2d 9208 . . . . . 6
111103, 107mulcld 8871 . . . . . . 7
112111, 108, 105nnncan1d 9207 . . . . . 6
113110, 112eqtr4d 2331 . . . . 5
114103, 106, 104subdird 9252 . . . . . 6
11594, 106mulcomd 8872 . . . . . . 7
116106, 107, 104subdid 9251 . . . . . . 7
117115, 116eqtrd 2328 . . . . . 6
118114, 117oveq12d 5892 . . . . 5
119103, 106, 107subdird 9252 . . . . . 6
12094, 103mulcomd 8872 . . . . . . 7
121103, 107, 104subdid 9251 . . . . . . 7
122120, 121eqtrd 2328 . . . . . 6
123119, 122oveq12d 5892 . . . . 5
124113, 118, 1233eqtr4d 2338 . . . 4
125 fveq2 5541 . . . . . . . 8
126125oveq2d 5890 . . . . . . 7
127 fveq2 5541 . . . . . . . 8
128127oveq2d 5890 . . . . . . 7
129126, 128oveq12d 5892 . . . . . 6
130 eqid 2296 . . . . . 6
131 ovex 5899 . . . . . 6
132129, 130, 131fvmpt3i 5621 . . . . 5
13317, 132syl 15 . . . 4
134 fveq2 5541 . . . . . . . 8
135134oveq2d 5890 . . . . . . 7
136 fveq2 5541 . . . . . . . 8
137136oveq2d 5890 . . . . . . 7
138135, 137oveq12d 5892 . . . . . 6
139138, 130, 131fvmpt3i 5621 . . . . 5
14014, 139syl 15 . . . 4
141124, 133, 1403eqtr4d 2338 . . 3
1421, 2, 3, 44, 102, 141rolle 19353 . 2
14397fveq1d 5543 . . . . . 6
144 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
145144oveq2d 5890 . . . . . . . 8
146 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
147146oveq2d 5890 . . . . . . . 8
148145, 147oveq12d 5892 . . . . . . 7
149148, 100, 99fvmpt3i 5621 . . . . . 6
150143, 149sylan9eq 2348 . . . . 5
151150eqeq1d 2304 . . . 4
15245adantr 451 . . . . . 6
15374ffvelrnda 5681 . . . . . 6
154152, 153mulcld 8871 . . . . 5
15594adantr 451 . . . . . 6
15690ffvelrnda 5681 . . . . . 6
157155, 156mulcld 8871 . . . . 5
158 subeq0 9089 . . . . 5
159154, 157, 158syl2anc 642 . . . 4
160151, 159bitrd 244 . . 3
161160rexbidva 2573 . 2
162142, 161mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wrex 2557  cvv 2801   wss 3165  cpr 3654   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753   cmul 8758  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cioo 10672  cicc 10675  ctopn 13342  ctg 13358  ℂfldccnfld 16393  cnt 16770  ccncf 18396   cdv 19229 This theorem is referenced by:  mvth  19355  lhop1lem  19376 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
 Copyright terms: Public domain W3C validator