MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddablo Unicode version

Theorem cnaddablo 21899
Description: Complex number addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnaddablo  |-  +  e.  AbelOp

Proof of Theorem cnaddablo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9035 . . 3  |-  CC  e.  _V
2 ax-addf 9033 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 addass 9041 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
4 0cn 9048 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addid2 9213 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  x )  =  x )
6 negcl 9270 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
7 addcom 9216 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u x  e.  CC )  ->  ( x  +  -u x )  =  (
-u x  +  x
) )
86, 7mpdan 650 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  ( -u x  +  x )
)
9 negid 9312 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  0 )
108, 9eqtr3d 2446 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  0 )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10isgrpoi 21747 . 2  |-  +  e.  GrpOp
122fdmi 5563 . 2  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
13 addcom 9216 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
1411, 12, 13isabloi 21837 1  |-  +  e.  AbelOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721    X. cxp 4843  (class class class)co 6048   CCcc 8952   0cc0 8954    + caddc 8957   -ucneg 9256   AbelOpcablo 21830
This theorem is referenced by:  cnid  21900  addinv  21901  readdsubgo  21902  zaddsubgo  21903  efghgrp  21922  cnrngo  21952  cncvc  22023  cnnv  22129  cnnvba  22131  cncph  22281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-addf 9033
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-ltxr 9089  df-sub 9257  df-neg 9258  df-grpo 21740  df-ablo 21831
  Copyright terms: Public domain W3C validator