MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddablo Structured version   Unicode version

Theorem cnaddablo 21969
Description: Complex number addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnaddablo  |-  +  e.  AbelOp

Proof of Theorem cnaddablo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9102 . . 3  |-  CC  e.  _V
2 ax-addf 9100 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 addass 9108 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
4 0cn 9115 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addid2 9280 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  x )  =  x )
6 negcl 9337 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
7 addcom 9283 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u x  e.  CC )  ->  ( x  +  -u x )  =  (
-u x  +  x
) )
86, 7mpdan 651 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  ( -u x  +  x )
)
9 negid 9379 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  0 )
108, 9eqtr3d 2476 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  0 )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10isgrpoi 21817 . 2  |-  +  e.  GrpOp
122fdmi 5625 . 2  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
13 addcom 9283 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
1411, 12, 13isabloi 21907 1  |-  +  e.  AbelOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1727    X. cxp 4905  (class class class)co 6110   CCcc 9019   0cc0 9021    + caddc 9024   -ucneg 9323   AbelOpcablo 21900
This theorem is referenced by:  cnid  21970  addinv  21971  readdsubgo  21972  zaddsubgo  21973  efghgrp  21992  cnrngo  22022  cncvc  22093  cnnv  22199  cnnvba  22201  cncph  22351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-addf 9100
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-ltxr 9156  df-sub 9324  df-neg 9325  df-grpo 21810  df-ablo 21901
  Copyright terms: Public domain W3C validator