MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcn Unicode version

Theorem cncfcn 18516
Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcn.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cncfcn.3  |-  K  =  ( Jt  A )
cncfcn.4  |-  L  =  ( Jt  B )
Assertion
Ref Expression
cncfcn  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( K  Cn  L
) )

Proof of Theorem cncfcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
2 eqid 2358 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
3 eqid 2358 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )
4 eqid 2358 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) ) )
51, 2, 3, 4cncfmet 18515 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) ) ) )
6 cncfcn.3 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  A )
7 cnxmet 18384 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
8 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  A  C_  CC )
9 cncfcn.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
109cnfldtopn 18393 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
111, 10, 3metrest 18172 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( Jt  A )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
127, 8, 11sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( Jt  A )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
136, 12syl5eq 2402 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  K  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) ) )
14 cncfcn.4 . . . 4  |-  L  =  ( Jt  B )
15 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  B  C_  CC )
162, 10, 4metrest 18172 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  B  C_  CC )  -> 
( Jt  B )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) ) ) )
177, 15, 16sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( Jt  B )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) ) ) )
1814, 17syl5eq 2402 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  L  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) ) )
1913, 18oveq12d 5963 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( K  Cn  L )  =  ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) ) ) )
205, 19eqtr4d 2393 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( K  Cn  L
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228    X. cxp 4769    |` cres 4773    o. ccom 4775   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825    - cmin 9127   abscabs 11815   ↾t crest 13424   TopOpenctopn 13425   * Metcxmt 16468   MetOpencmopn 16473  ℂfldccnfld 16482    Cn ccn 17060   -cn->ccncf 18483
This theorem is referenced by:  cncfcn1  18517  cncfmptc  18518  cncfmptid  18519  cncfmpt2f  18521  cdivcncf  18524  abscncfALT  18527  cncfcnvcn  18528  cnrehmeo  18555  cncombf  19117  cnmbf  19118  cnlimc  19342  dvcn  19374  dvcnvrelem2  19469  dvcnvre  19470  ftc1cn  19494  psercn  19909  abelth  19924  logcn  20105  dvloglem  20106  efopnlem2  20115  cxpcn  20196  resqrcn  20200  sqrcn  20201  loglesqr  20209  ftalem3  20424  ftc1cnnc  25514  areacirclem4  25519  areacirclem5  25521  ivthALT  25582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-fz 10875  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-cncf 18485
  Copyright terms: Public domain W3C validator