MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Structured version   Unicode version

Theorem cncfcnvcn 18953
Description: Rewrite cmphaushmeo 17834 for functions on the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cncfcnvcn.k  |-  K  =  ( Jt  X )
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) ) )

Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  F  e.  ( X -cn-> Y ) )
2 cncfrss 18923 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X -cn-> Y )  ->  X  C_  CC )
32adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  C_  CC )
4 cncfrss2 18924 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X -cn-> Y )  ->  Y  C_  CC )
54adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  C_  CC )
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  X )
8 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
96, 7, 8cncfcn 18941 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X -cn-> Y )  =  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
103, 5, 9syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( X -cn-> Y )  =  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
111, 10eleqtrd 2514 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
12 ishmeo 17793 . . . 4  |-  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  ( F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) )  /\  `' F  e.  (
( Jt  Y )  Cn  K
) ) )
1312baib 873 . . 3  |-  ( F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) )  -> 
( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y
) )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
1411, 13syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
156cnfldtop 18820 . . . . . 6  |-  J  e. 
Top
166cnfldtopon 18819 . . . . . . . 8  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1716toponunii 16999 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. J
1817restuni 17228 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  CC )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
1915, 3, 18sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
207unieqi 4027 . . . . 5  |-  U. K  =  U. ( Jt  X )
2119, 20syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  =  U. K )
22 f1oeq2 5668 . . . 4  |-  ( X  =  U. K  -> 
( F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y )  <-> 
F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2417restuni 17228 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  CC )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
2515, 5, 24sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
26 f1oeq3 5669 . . . 4  |-  ( Y  =  U. ( Jt  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
28 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  K  e.  Comp )
296cnfldhaus 18821 . . . . 5  |-  J  e. 
Haus
30 cnex 9073 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
3130ssex 4349 . . . . . 6  |-  ( Y 
C_  CC  ->  Y  e. 
_V )
325, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  e.  _V )
33 resthaus 17434 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Jt  Y )  e.  Haus )
3429, 32, 33sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( Jt  Y
)  e.  Haus )
35 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
36 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. ( Jt  Y )
3735, 36cmphaushmeo 17834 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  ( Jt  Y )  e.  Haus  /\  F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )  ->  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
3828, 34, 11, 37syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
3923, 27, 383bitr4d 278 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) ) ) )
406, 8, 7cncfcn 18941 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  X  C_  CC )  ->  ( Y -cn-> X )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
415, 3, 40syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( Y -cn-> X )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  K
) )
4241eleq2d 2505 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( `' F  e.  ( Y -cn-> X )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
4314, 39, 423bitr4d 278 1  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   U.cuni 4017   `'ccnv 4879   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   ↾t crest 13650   TopOpenctopn 13651  ℂfldccnfld 16705   Topctop 16960    Cn ccn 17290   Hauscha 17374   Compccmp 17451    Homeo chmeo 17787   -cn->ccncf 18908
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  19904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-cls 17087  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-cncf 18910
  Copyright terms: Public domain W3C validator