MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Unicode version

Theorem cncfcnvcn 18440
Description: Rewrite cmphaushmeo 17507 for functions on the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cncfcnvcn.k  |-  K  =  ( Jt  X )
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) ) )

Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  F  e.  ( X -cn-> Y ) )
2 cncfrss 18411 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X -cn-> Y )  ->  X  C_  CC )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  C_  CC )
4 cncfrss2 18412 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X -cn-> Y )  ->  Y  C_  CC )
54adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  C_  CC )
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  X )
8 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
96, 7, 8cncfcn 18429 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X -cn-> Y )  =  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
103, 5, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( X -cn-> Y )  =  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
111, 10eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
12 ishmeo 17466 . . . 4  |-  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  ( F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) )  /\  `' F  e.  (
( Jt  Y )  Cn  K
) ) )
1312baib 871 . . 3  |-  ( F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) )  -> 
( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y
) )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
1411, 13syl 15 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
156cnfldtop 18309 . . . . . 6  |-  J  e. 
Top
166cnfldtopon 18308 . . . . . . . 8  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1716toponunii 16686 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. J
1817restuni 16909 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  CC )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
1915, 3, 18sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
207unieqi 3853 . . . . 5  |-  U. K  =  U. ( Jt  X )
2119, 20syl6eqr 2346 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  =  U. K )
22 f1oeq2 5480 . . . 4  |-  ( X  =  U. K  -> 
( F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2321, 22syl 15 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y )  <-> 
F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2417restuni 16909 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  CC )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
2515, 5, 24sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
26 f1oeq3 5481 . . . 4  |-  ( Y  =  U. ( Jt  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2725, 26syl 15 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
28 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  K  e.  Comp )
296cnfldhaus 18310 . . . . 5  |-  J  e. 
Haus
30 cnex 8834 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
3130ssex 4174 . . . . . 6  |-  ( Y 
C_  CC  ->  Y  e. 
_V )
325, 31syl 15 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  e.  _V )
33 resthaus 17112 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Jt  Y )  e.  Haus )
3429, 32, 33sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( Jt  Y
)  e.  Haus )
35 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
36 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. ( Jt  Y )
3735, 36cmphaushmeo 17507 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  ( Jt  Y )  e.  Haus  /\  F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )  ->  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
3828, 34, 11, 37syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
3923, 27, 383bitr4d 276 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) ) ) )
406, 8, 7cncfcn 18429 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  X  C_  CC )  ->  ( Y -cn-> X )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
415, 3, 40syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( Y -cn-> X )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  K
) )
4241eleq2d 2363 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( `' F  e.  ( Y -cn-> X )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
4314, 39, 423bitr4d 276 1  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647    Cn ccn 16970   Hauscha 17052   Compccmp 17129    Homeo chmeo 17460   -cn->ccncf 18396
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  19381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-cncf 18398
  Copyright terms: Public domain W3C validator