MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncff Unicode version

Theorem cncff 18397
Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncff  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )

Proof of Theorem cncff
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 18395 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
2 cncfrss2 18396 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
3 elcncf 18393 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
54ibi 232 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
65simpld 445 1  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    < clt 8867    - cmin 9037   RR+crp 10354   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  cncfss  18403  climcncf  18404  cncfco  18411  cncfmpt1f  18417  cncfmpt2ss  18419  negfcncf  18422  ivth2  18815  ivthicc  18818  evthicc2  18820  cniccbdd  18821  volivth  18962  cncombf  19013  cnmbf  19014  cniccibl  19195  cnmptlimc  19240  cpnord  19284  cpnres  19286  dvrec  19304  rollelem  19336  rolle  19337  cmvth  19338  mvth  19339  dvlip  19340  c1liplem1  19343  c1lip1  19344  c1lip2  19345  dveq0  19347  dvgt0lem1  19349  dvgt0lem2  19350  dvgt0  19351  dvlt0  19352  dvge0  19353  dvle  19354  dvivthlem1  19355  dvivth  19357  dvne0  19358  dvne0f1  19359  dvcnvrelem1  19364  dvcnvrelem2  19365  dvcnvre  19366  dvcvx  19367  dvfsumle  19368  dvfsumge  19369  dvfsumabs  19370  ftc1cn  19390  ftc2  19391  ftc2ditglem  19392  ftc2ditg  19393  itgparts  19394  itgsubstlem  19395  itgsubst  19396  ulmcn  19776  psercn  19802  pserdvlem2  19804  pserdv  19805  sincn  19820  coscn  19821  logtayl  20007  leibpi  20238  ivthALT  26258  cncfmptss  27717  mulc1cncfg  27721  expcnfg  27726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-cncf 18382
  Copyright terms: Public domain W3C validator