MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncff Unicode version

Theorem cncff 18413
Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncff  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )

Proof of Theorem cncff
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 18411 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
2 cncfrss2 18412 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
3 elcncf 18409 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
54ibi 232 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
65simpld 445 1  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751    < clt 8883    - cmin 9053   RR+crp 10370   abscabs 11735   -cn->ccncf 18396
This theorem is referenced by:  cncfss  18419  climcncf  18420  cncfco  18427  cncfmpt1f  18433  cncfmpt2ss  18435  negfcncf  18438  ivth2  18831  ivthicc  18834  evthicc2  18836  cniccbdd  18837  volivth  18978  cncombf  19029  cnmbf  19030  cniccibl  19211  cnmptlimc  19256  cpnord  19300  cpnres  19302  dvrec  19320  rollelem  19352  rolle  19353  cmvth  19354  mvth  19355  dvlip  19356  c1liplem1  19359  c1lip1  19360  c1lip2  19361  dveq0  19363  dvgt0lem1  19365  dvgt0lem2  19366  dvgt0  19367  dvlt0  19368  dvge0  19369  dvle  19370  dvivthlem1  19371  dvivth  19373  dvne0  19374  dvne0f1  19375  dvcnvrelem1  19380  dvcnvrelem2  19381  dvcnvre  19382  dvcvx  19383  dvfsumle  19384  dvfsumge  19385  dvfsumabs  19386  ftc1cn  19406  ftc2  19407  ftc2ditglem  19408  ftc2ditg  19409  itgparts  19410  itgsubstlem  19411  itgsubst  19412  ulmcn  19792  psercn  19818  pserdvlem2  19820  pserdv  19821  sincn  19836  coscn  19837  logtayl  20023  leibpi  20254  cnicciblnc  25022  ftc1cnnclem  25024  ftc1cnnc  25025  ivthALT  26361  cncfmptss  27820  mulc1cncfg  27824  expcnfg  27829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-cncf 18398
  Copyright terms: Public domain W3C validator