MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt2ss Unicode version

Theorem cncfmpt2ss 18816
Description: Composition of continuous functions in a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt2ss.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cncfmpt2ss.2  |-  F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
cncfmpt2ss.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> S ) )
cncfmpt2ss.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> S ) )
cncfmpt2ss.5  |-  S  C_  CC
cncfmpt2ss.6  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A F B )  e.  S )
Assertion
Ref Expression
cncfmpt2ss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> S ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    ph, x    x, S    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cncfmpt2ss
StepHypRef Expression
1 cncfmpt2ss.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> S ) )
2 cncff 18794 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> S )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> S )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> S )
4 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
54fmpt 5829 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  S  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> S )
63, 5sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  S )
76r19.21bi 2747 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  S )
8 cncfmpt2ss.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> S ) )
9 cncff 18794 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X
-cn-> S )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> S )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> S )
11 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1211fmpt 5829 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  S  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> S )
1310, 12sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  S )
1413r19.21bi 2747 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  S )
15 cncfmpt2ss.6 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A F B )  e.  S )
167, 14, 15syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A F B )  e.  S )
17 eqid 2387 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )
1816, 17fmptd 5832 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) ) : X --> S )
19 cncfmpt2ss.5 . . 3  |-  S  C_  CC
20 cncfmpt2ss.1 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21 cncfmpt2ss.2 . . . . 5  |-  F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
23 ssid 3310 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
24 cncfss 18800 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( X -cn-> S )  C_  ( X -cn-> CC ) )
2519, 23, 24mp2an 654 . . . . 5  |-  ( X
-cn-> S )  C_  ( X -cn-> CC )
2625, 1sseldi 3289 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
2725, 8sseldi 3289 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
2820, 22, 26, 27cncfmpt2f 18815 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
29 cncffvrn 18799 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X
-cn-> CC ) )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> S )  <-> 
( x  e.  X  |->  ( A F B ) ) : X --> S ) )
3019, 28, 29sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> S )  <-> 
( x  e.  X  |->  ( A F B ) ) : X --> S ) )
3118, 30mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    C_ wss 3263    e. cmpt 4207   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   TopOpenctopn 13576  ℂfldccnfld 16626    Cn ccn 17210    tX ctx 17513   -cn->ccncf 18777
This theorem is referenced by:  cmvth  19742  dvle  19758  dvfsumle  19772  dvfsumge  19773  dvfsumlem2  19778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-tx 17515  df-xms 18259  df-ms 18260  df-cncf 18779
  Copyright terms: Public domain W3C validator