Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfres Unicode version

Theorem cncfres 26485
Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfres.1  |-  A  C_  CC
cncfres.2  |-  B  C_  CC
cncfres.3  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  C )
cncfres.4  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
cncfres.5  |-  ( x  e.  A  ->  C  e.  B )
cncfres.6  |-  F  e.  ( CC -cn-> CC )
cncfres.7  |-  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )
cncfres.8  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
cncfres  |-  G  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J    x, K
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)

Proof of Theorem cncfres
StepHypRef Expression
1 cncfres.4 . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
2 cncfres.5 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  C  e.  B )
31, 2fmpti 5683 . . 3  |-  G : A
--> B
4 cncfres.2 . . . 4  |-  B  C_  CC
5 cncfres.1 . . . . . . 7  |-  A  C_  CC
6 resmpt 5000 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C )
81, 7eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  G  =  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )
9 cncfres.3 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  C )
10 cncfres.6 . . . . . . 7  |-  F  e.  ( CC -cn-> CC )
119, 10eqeltrri 2354 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC -cn-> CC )
12 rescncf 18401 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
135, 11, 12mp2 17 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC )
148, 13eqeltri 2353 . . . 4  |-  G  e.  ( A -cn-> CC )
15 cncffvrn 18402 . . . 4  |-  ( ( B  C_  CC  /\  G  e.  ( A -cn-> CC ) )  ->  ( G  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
G : A --> B ) )
164, 14, 15mp2an 653 . . 3  |-  ( G  e.  ( A -cn-> B )  <->  G : A --> B )
173, 16mpbir 200 . 2  |-  G  e.  ( A -cn-> B )
18 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
19 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
20 cncfres.7 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )
21 cncfres.8 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) )
2218, 19, 20, 21cncfmet 18412 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )
235, 4, 22mp2an 653 . 2  |-  ( A
-cn-> B )  =  ( J  Cn  K )
2417, 23eleqtri 2355 1  |-  G  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    - cmin 9037   abscabs 11719   MetOpencmopn 16372    Cn ccn 16954   -cn->ccncf 18380
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cncf 18382
  Copyright terms: Public domain W3C validator