MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfss Unicode version

Theorem cncfss 18617
Description: The set of continuous functions is expanded when the range is expanded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfss  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  -> 
( A -cn-> B ) 
C_  ( A -cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfss
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 18611 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( A -cn-> B )  ->  f : A
--> B )
21adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  f : A --> B )
3 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  B  C_  C
)
4 fss 5503 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  B  C_  C )  -> 
f : A --> C )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  f : A --> C )
6 cncffvrn 18616 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  CC  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  ( f  e.  ( A -cn-> C )  <-> 
f : A --> C ) )
76adantll 694 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  ( f  e.  ( A -cn-> C )  <-> 
f : A --> C ) )
85, 7mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  f  e.  ( A -cn-> C ) )
98ex 423 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  -> 
( f  e.  ( A -cn-> B )  -> 
f  e.  ( A
-cn-> C ) ) )
109ssrdv 3271 1  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  -> 
( A -cn-> B ) 
C_  ( A -cn-> C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1715    C_ wss 3238   -->wf 5354  (class class class)co 5981   CCcc 8882   -cn->ccncf 18594
This theorem is referenced by:  cncfmptid  18630  cncfmpt2ss  18633  evthicc2  19035  volivth  19177  iblabslem  19397  iblabs  19398  bddmulibl  19408  cnlimci  19454  rolle  19552  c1liplem1  19558  dvivth  19572  dvcnvrelem2  19580  itgsubst  19611  logcn  20216  logccv  20232  ftc1cnnclem  25696  areacirclem4  25702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-2 9951  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-abs 11928  df-cncf 18596
  Copyright terms: Public domain W3C validator