MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnclima Unicode version

Theorem cnclima 17013
Description: A closed subset of the codomain of a continuous function has a closed preimage. (Contributed by NM, 15-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnclima  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
)

Proof of Theorem cnclima
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnf 16992 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
43adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  ( Clsd `  K ) )  ->  F : U. J --> U. K
)
5 ffun 5407 . . . . . 6  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  Fun  F )
6 funcnvcnv 5324 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
7 imadif 5343 . . . . . 6  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( U. K  \  A ) )  =  ( ( `' F " U. K
)  \  ( `' F " A ) ) )
85, 6, 73syl 18 . . . . 5  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  ( `' F "
( U. K  \  A ) )  =  ( ( `' F " U. K )  \ 
( `' F " A ) ) )
9 fimacnv 5673 . . . . . 6  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  ( `' F " U. K )  =  U. J )
109difeq1d 3306 . . . . 5  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  ( ( `' F " U. K )  \ 
( `' F " A ) )  =  ( U. J  \ 
( `' F " A ) ) )
118, 10eqtr2d 2329 . . . 4  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  ( U. J  \ 
( `' F " A ) )  =  ( `' F "
( U. K  \  A ) ) )
124, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( U. J  \ 
( `' F " A ) )  =  ( `' F "
( U. K  \  A ) ) )
132cldopn 16784 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  K
)  ->  ( U. K  \  A )  e.  K )
14 cnima 17010 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( U. K  \  A
)  e.  K )  ->  ( `' F " ( U. K  \  A ) )  e.  J )
1513, 14sylan2 460 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' F "
( U. K  \  A ) )  e.  J )
1612, 15eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( U. J  \ 
( `' F " A ) )  e.  J )
17 cntop1 16986 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
1817adantr 451 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  ( Clsd `  K ) )  ->  J  e.  Top )
19 cnvimass 5049 . . . 4  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
20 fdm 5409 . . . . 5  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
214, 20syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  ( Clsd `  K ) )  ->  dom  F  =  U. J
)
2219, 21syl5sseq 3239 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' F " A )  C_  U. J
)
231iscld2 16781 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " A ) 
C_  U. J )  -> 
( ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
2418, 22, 23syl2anc 642 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
2516, 24mpbird 223 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    C_ wss 3165   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  iscncl  17014  cncls2i  17015  paste  17038  cnt1  17094  dnsconst  17122  cnconn  17164  hauseqlcld  17356  txcon  17399  r0cld  17445  kqreglem2  17449  kqnrmlem1  17450  kqnrmlem2  17451  hmeocld  17474  nrmhmph  17501  tgphaus  17815  csscld  18692  clsocv  18693  hmeoclda  26354  hmeocldb  26355  rfcnpre3  27807  rfcnpre4  27808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cn 16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator