MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncls2i Unicode version

Theorem cncls2i 17015
Description: Property of the preimage of a closure. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncls2i.1  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cncls2i  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( `' F " S ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  S )
) )

Proof of Theorem cncls2i
StepHypRef Expression
1 cntop2 16987 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
2 cncls2i.1 . . . . 5  |-  Y  = 
U. K
32clscld 16800 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  Y )  -> 
( ( cls `  K
) `  S )  e.  ( Clsd `  K
) )
41, 3sylan 457 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  -> 
( ( cls `  K
) `  S )  e.  ( Clsd `  K
) )
5 cnclima 17013 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  e.  ( Clsd `  K
) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 S ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
64, 5syldan 456 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  -> 
( `' F "
( ( cls `  K
) `  S )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
72sscls 16809 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  ( ( cls `  K ) `  S
) )
81, 7sylan 457 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  ( ( cls `  K ) `  S
) )
9 imass2 5065 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ( cls `  K ) `  S
)  ->  ( `' F " S )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 S ) ) )
108, 9syl 15 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  -> 
( `' F " S )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 S ) ) )
11 eqid 2296 . . 3  |-  U. J  =  U. J
1211clsss2 16825 . 2  |-  ( ( ( `' F "
( ( cls `  K
) `  S )
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( `' F " S ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  S )
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " S ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  S )
) )
136, 10, 12syl2anc 642 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( `' F " S ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  S )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647   Clsdccld 16769   clsccl 16771    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  cnclsi  17017  cncls2  17018  hmeocls  17475  clssubg  17807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cls 16774  df-cn 16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator