MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncmet Structured version   Unicode version

Theorem cncmet 19280
Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmet.1  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
Assertion
Ref Expression
cncmet  |-  D  e.  ( CMet `  CC )

Proof of Theorem cncmet
Dummy variables  x  r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopn 18821 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
3 cncmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
43fveq2i 5734 . . . 4  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
52, 4eqtr4i 2461 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  D
)
6 cnmet 18811 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
73, 6eqeltri 2508 . . . 4  |-  D  e.  ( Met `  CC )
87a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  D  e.  ( Met `  CC ) )
9 1rp 10621 . . . 4  |-  1  e.  RR+
109a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR+ )
111cnfldtop 18823 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
12 metxmet 18369 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  CC )  ->  D  e.  ( * Met `  CC ) )
137, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  D  e.  ( * Met `  CC )
14 rpxr 10624 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
159, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR*
16 blssm 18453 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )
1713, 15, 16mp3an13 1271 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  CC )
181cnfldtopon 18822 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1918toponunii 17002 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2019clscld 17116 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2111, 17, 20sylancr 646 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
22 abscl 12088 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
23 peano2re 9244 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
25 df-rab 2716 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  CC  |  ( x D y )  <_  1 }  =  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) }
2625eqcomi 2442 . . . . . . . . . 10  |-  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_ 
1 ) }  =  { y  e.  CC  |  ( x D y )  <_  1 }
275, 26blcls 18541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) } )
2813, 15, 27mp3an13 1271 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) } )
29 abscl 12088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
3029ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
3122adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
3230, 31resubcld 9470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  e.  RR )
33 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 )  ->  y  e.  CC )
34 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
35 subcl 9310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
3633, 34, 35syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( y  -  x )  e.  CC )
3736abscld 12243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( y  -  x
) )  e.  RR )
38 1re 9095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
40 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  y  e.  CC )
41 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  x  e.  CC )
4240, 41abs2difd 12264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  <_  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
433cnmetdval 18810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
44 abssub 12135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
4543, 44eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
4645adantrr 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
47 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( x D y )  <_ 
1 )
4846, 47eqbrtrrd 4237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( y  -  x
) )  <_  1
)
4932, 37, 39, 42, 48letrd 9232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  <_  1 )
5030, 31, 39lesubadd2d 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( (
( abs `  y
)  -  ( abs `  x ) )  <_ 
1  <->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5149, 50mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  y )  <_  (
( abs `  x
)  +  1 ) )
5251ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 )  ->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5352ss2abdv 3418 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_ 
1 ) }  C_  { y  |  ( abs `  y )  <_  (
( abs `  x
)  +  1 ) } )
5428, 53sstrd 3360 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) } )
55 ssabral 3416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) }  <->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
5654, 55sylib 190 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
57 breq2 4219 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( ( abs `  y )  <_ 
r  <->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5857ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r  <->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5958rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld )
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ( abs `  y )  <_  r )
6024, 56, 59syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
6119clsss3 17128 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC )
6211, 17, 61sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC )
63 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )
641, 63cnheibor 18985 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp  <->  ( (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  /\  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
) )
6562, 64syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp  <->  ( (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  /\  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
) )
6621, 60, 65mpbir2and 890 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp )
6766adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp )
685, 8, 10, 67relcmpcmet 19274 . 2  |-  (  T. 
->  D  e.  ( CMet `  CC ) )
6968trud 1333 1  |-  D  e.  ( CMet `  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    o. ccom 4885   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   1c1 8996    + caddc 8998   RR*cxr 9124    <_ cle 9126    - cmin 9296   RR+crp 10617   abscabs 12044   ↾t crest 13653   TopOpenctopn 13654   * Metcxmt 16691   Metcme 16692   ballcbl 16693   MetOpencmopn 16696  ℂfldccnfld 16708   Topctop 16963   Clsdccld 17085   clsccl 17087   Compccmp 17454   CMetcms 19212
This theorem is referenced by:  recmet  19281  cncms  19314  cnbn  22376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-flim 17976  df-fcls 17978  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-cfil 19213  df-cmet 19215
  Copyright terms: Public domain W3C validator