MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncmet Unicode version

Theorem cncmet 18744
Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmet.1  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
Assertion
Ref Expression
cncmet  |-  D  e.  ( CMet `  CC )

Proof of Theorem cncmet
Dummy variables  x  r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopn 18291 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
3 cncmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
43fveq2i 5528 . . . 4  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
52, 4eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  D
)
6 cnmet 18281 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
73, 6eqeltri 2353 . . . 4  |-  D  e.  ( Met `  CC )
87a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  D  e.  ( Met `  CC ) )
9 1rp 10358 . . . 4  |-  1  e.  RR+
109a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR+ )
111cnfldtop 18293 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
12 metxmet 17899 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  CC )  ->  D  e.  ( * Met `  CC ) )
137, 12ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  D  e.  ( * Met `  CC )
14 rpxr 10361 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
159, 14ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR*
16 blssm 17968 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )
1713, 15, 16mp3an13 1268 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  CC )
181cnfldtopon 18292 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1918toponunii 16670 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2019clscld 16784 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2111, 17, 20sylancr 644 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
22 abscl 11763 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
23 peano2re 8985 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
2422, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
25 df-rab 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  CC  |  ( x D y )  <_  1 }  =  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) }
2625eqcomi 2287 . . . . . . . . . 10  |-  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_ 
1 ) }  =  { y  e.  CC  |  ( x D y )  <_  1 }
275, 26blcls 18052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) } )
2813, 15, 27mp3an13 1268 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) } )
29 abscl 11763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
3029ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
3122adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
3230, 31resubcld 9211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  e.  RR )
33 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 )  ->  y  e.  CC )
34 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
35 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
3633, 34, 35syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( y  -  x )  e.  CC )
3736abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( y  -  x
) )  e.  RR )
38 1re 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
40 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  y  e.  CC )
41 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  x  e.  CC )
4240, 41abs2difd 11939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  <_  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
433cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
44 abssub 11810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
4543, 44eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
4645adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
47 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( x D y )  <_ 
1 )
4846, 47eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( y  -  x
) )  <_  1
)
4932, 37, 39, 42, 48letrd 8973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  <_  1 )
5030, 31, 39lesubadd2d 9371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( (
( abs `  y
)  -  ( abs `  x ) )  <_ 
1  <->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5149, 50mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  y )  <_  (
( abs `  x
)  +  1 ) )
5251ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 )  ->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5352ss2abdv 3246 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_ 
1 ) }  C_  { y  |  ( abs `  y )  <_  (
( abs `  x
)  +  1 ) } )
5428, 53sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) } )
55 ssabral 3244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) }  <->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
5654, 55sylib 188 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
57 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( ( abs `  y )  <_ 
r  <->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5857ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r  <->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5958rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld )
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ( abs `  y )  <_  r )
6024, 56, 59syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
6119clsss3 16796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC )
6211, 17, 61sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC )
63 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )
641, 63cnheibor 18453 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp  <->  ( (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  /\  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
) )
6562, 64syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp  <->  ( (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  /\  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
) )
6621, 60, 65mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp )
6766adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp )
685, 8, 10, 67relcmpcmet 18742 . 2  |-  (  T. 
->  D  e.  ( CMet `  CC ) )
6968trud 1314 1  |-  D  e.  ( CMet `  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740   RR*cxr 8866    <_ cle 8868    - cmin 9037   RR+crp 10354   abscabs 11719   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755   Compccmp 17113   CMetcms 18680
This theorem is referenced by:  recmet  18745  cncms  18774  cnbn  21448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634  df-fcls 17636  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-cfil 18681  df-cmet 18683
  Copyright terms: Public domain W3C validator