MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncmet Unicode version

Theorem cncmet 18760
Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmet.1  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
Assertion
Ref Expression
cncmet  |-  D  e.  ( CMet `  CC )

Proof of Theorem cncmet
Dummy variables  x  r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopn 18307 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
3 cncmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
43fveq2i 5544 . . . 4  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
52, 4eqtr4i 2319 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  D
)
6 cnmet 18297 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
73, 6eqeltri 2366 . . . 4  |-  D  e.  ( Met `  CC )
87a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  D  e.  ( Met `  CC ) )
9 1rp 10374 . . . 4  |-  1  e.  RR+
109a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR+ )
111cnfldtop 18309 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
12 metxmet 17915 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  CC )  ->  D  e.  ( * Met `  CC ) )
137, 12ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  D  e.  ( * Met `  CC )
14 rpxr 10377 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
159, 14ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR*
16 blssm 17984 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )
1713, 15, 16mp3an13 1268 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  CC )
181cnfldtopon 18308 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1918toponunii 16686 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2019clscld 16800 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2111, 17, 20sylancr 644 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
22 abscl 11779 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
23 peano2re 9001 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
2422, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
25 df-rab 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  CC  |  ( x D y )  <_  1 }  =  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) }
2625eqcomi 2300 . . . . . . . . . 10  |-  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_ 
1 ) }  =  { y  e.  CC  |  ( x D y )  <_  1 }
275, 26blcls 18068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) } )
2813, 15, 27mp3an13 1268 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) } )
29 abscl 11779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
3029ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
3122adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
3230, 31resubcld 9227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  e.  RR )
33 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 )  ->  y  e.  CC )
34 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
35 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
3633, 34, 35syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( y  -  x )  e.  CC )
3736abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( y  -  x
) )  e.  RR )
38 1re 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
40 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  y  e.  CC )
41 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  x  e.  CC )
4240, 41abs2difd 11955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  <_  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
433cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
44 abssub 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
4543, 44eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
4645adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
47 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( x D y )  <_ 
1 )
4846, 47eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( y  -  x
) )  <_  1
)
4932, 37, 39, 42, 48letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  <_  1 )
5030, 31, 39lesubadd2d 9387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( (
( abs `  y
)  -  ( abs `  x ) )  <_ 
1  <->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5149, 50mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  y )  <_  (
( abs `  x
)  +  1 ) )
5251ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 )  ->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5352ss2abdv 3259 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_ 
1 ) }  C_  { y  |  ( abs `  y )  <_  (
( abs `  x
)  +  1 ) } )
5428, 53sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) } )
55 ssabral 3257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) }  <->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
5654, 55sylib 188 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
57 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( ( abs `  y )  <_ 
r  <->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5857ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r  <->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5958rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld )
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ( abs `  y )  <_  r )
6024, 56, 59syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
6119clsss3 16812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC )
6211, 17, 61sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC )
63 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )
641, 63cnheibor 18469 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp  <->  ( (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  /\  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
) )
6562, 64syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp  <->  ( (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  /\  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
) )
6621, 60, 65mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp )
6766adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp )
685, 8, 10, 67relcmpcmet 18758 . 2  |-  (  T. 
->  D  e.  ( CMet `  CC ) )
6968trud 1314 1  |-  D  e.  ( CMet `  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    o. ccom 4709   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    - cmin 9053   RR+crp 10370   abscabs 11735   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647   Clsdccld 16769   clsccl 16771   Compccmp 17129   CMetcms 18696
This theorem is referenced by:  recmet  18761  cncms  18790  cnbn  21464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650  df-fcls 17652  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-cfil 18697  df-cmet 18699
  Copyright terms: Public domain W3C validator