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Theorem cncmp 17175
Description: Compactness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmp.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cncmp  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Comp )

Proof of Theorem cncmp
Dummy variables  c 
d  s  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 17027 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3 elpwi 3667 . . . 4  |-  ( u  e.  ~P K  ->  u  C_  K )
4 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  J  e.  Comp )
5 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  u  C_  K )
65sselda 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  y  e.  K )
7 simpl3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
8 cnima 17050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F "
y )  e.  J
)
97, 8sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  K
)  ->  ( `' F " y )  e.  J )
106, 9syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( `' F " y )  e.  J )
11 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  =  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )
1210, 11fmptd 5722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) : u --> J )
13 frn 5433 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) : u --> J  ->  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  C_  J )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  C_  J )
15 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  Y  =  U. u
)
1615imaeq2d 5049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( `' F " Y )  =  ( `' F " U. u
) )
17 eqid 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
18 cncmp.2 . . . . . . . . . . 11  |-  Y  = 
U. K
1917, 18cnf 17032 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
207, 19syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  F : U. J --> Y )
21 fimacnv 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( F : U. J --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  U. J )
2220, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( `' F " Y )  =  U. J )
2310ralrimiva 2660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  A. y  e.  u  ( `' F " y )  e.  J )
24 dfiun2g 3972 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  u  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  u  ( `' F " y )  = 
U. { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) } )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  U_ y  e.  u  ( `' F " y )  =  U. { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) } )
26 imauni 5814 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " U. u
)  =  U_ y  e.  u  ( `' F " y )
2711rnmpt 4962 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  =  { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) }
2827unieqi 3874 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  = 
U. { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) }
2925, 26, 283eqtr4g 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( `' F " U. u )  =  U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) )
3016, 22, 293eqtr3d 2356 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  U. J  =  U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) )
3117cmpcov 17172 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  C_  J  /\  U. J  = 
U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i  Fin ) U. J  =  U. s )
324, 14, 30, 31syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  E. s  e.  ( ~P ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i 
Fin ) U. J  =  U. s )
33 elfpw 7202 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ~P ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  i^i 
Fin )  <->  ( s  C_ 
ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e.  Fin )
)
34 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  s  C_ 
ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )
3534sselda 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
u  C_  K  /\  Y  =  U. u
) )  /\  (
( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )  /\  U. J  =  U. s ) )  /\  c  e.  s )  ->  c  e.  ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )
36 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  F : X -onto-> Y )
37 elssuni 3892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  K  ->  y  C_ 
U. K )
3837, 18syl6sseqr 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  K  ->  y  C_  Y )
396, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  y  C_  Y )
40 foimacnv 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  y  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F "
y ) )  =  y )
4136, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  =  y )
42 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  y  e.  u )
4341, 42eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u )
4443ralrimiva 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  A. y  e.  u  ( F " ( `' F " y ) )  e.  u )
45 imaeq2 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  =  ( `' F " y )  ->  ( F " c )  =  ( F " ( `' F " y ) ) )
4645eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  ( `' F " y )  ->  (
( F " c
)  e.  u  <->  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u ) )
4711, 46ralrnmpt 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  u  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( A. c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) ( F " c )  e.  u  <->  A. y  e.  u  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u ) )
4823, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( A. c  e. 
ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) ( F " c )  e.  u  <->  A. y  e.  u  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u ) )
4944, 48mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  A. c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) ( F " c )  e.  u )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  A. c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) ( F " c )  e.  u )
5150r19.21bi 2675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
u  C_  K  /\  Y  =  U. u
) )  /\  (
( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )  /\  U. J  =  U. s ) )  /\  c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )  ->  ( F " c )  e.  u )
5235, 51syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
u  C_  K  /\  Y  =  U. u
) )  /\  (
( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )  /\  U. J  =  U. s ) )  /\  c  e.  s )  ->  ( F " c
)  e.  u )
53 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) )  =  ( c  e.  s  |->  ( F "
c ) )
5452, 53fmptd 5722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  (
c  e.  s  |->  ( F " c ) ) : s --> u )
55 frn 5433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  s  |->  ( F " c ) ) : s --> u  ->  ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) 
C_  u )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  C_  u
)
57 simprlr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  s  e.  Fin )
5853rnmpt 4962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (
c  e.  s  |->  ( F " c ) )  =  { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F " c ) }
59 abrexfi 7201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F " c ) }  e.  Fin )
6058, 59syl5eqel 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  Fin  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  Fin )
6157, 60syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  Fin )
62 elfpw 7202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) 
<->  ( ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) 
C_  u  /\  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  Fin ) )
6356, 61, 62sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )
6420adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  F : U. J --> Y )
65 fdm 5431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : U. J --> Y  ->  dom  F  =  U. J
)
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  dom  F  =  U. J )
67 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  F : X -onto-> Y )
68 fof 5489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
69 fdm 5431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
7067, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  dom  F  =  X )
71 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  U. J  =  U. s )
7266, 70, 713eqtr3d 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  X  =  U. s )
7372imaeq2d 5049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ( F " X )  =  ( F " U. s ) )
74 foima 5494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
7567, 74syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ( F " X )  =  Y )
7652ralrimiva 2660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  A. c  e.  s  ( F " c )  e.  u
)
77 dfiun2g 3972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  s  ( F " c )  e.  u  ->  U_ c  e.  s  ( F "
c )  =  U. { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F "
c ) } )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  U_ c  e.  s  ( F " c )  =  U. { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F "
c ) } )
79 imauni 5814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" U. s )  =  U_ c  e.  s  ( F "
c )
8058unieqi 3874 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  =  U. { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F "
c ) }
8178, 79, 803eqtr4g 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ( F " U. s )  =  U. ran  (
c  e.  s  |->  ( F " c ) ) )
8273, 75, 813eqtr3d 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  Y  =  U. ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) )
83 unieq 3873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) )  ->  U. v  =  U. ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) ) )
8483eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) )  ->  ( Y  = 
U. v  <->  Y  =  U. ran  ( c  e.  s  |->  ( F "
c ) ) ) )
8584rspcev 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( c  e.  s  |->  ( F "
c ) )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  Y  =  U. ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) Y  = 
U. v )
8663, 82, 85syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) Y  = 
U. v )
8786expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )
)  ->  ( U. J  =  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
8833, 87sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  s  e.  ( ~P ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i  Fin )
)  ->  ( U. J  =  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
8988rexlimdva 2701 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( E. s  e.  ( ~P ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i  Fin ) U. J  =  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
9032, 89mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v
)
9190expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  u  C_  K
)  ->  ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) Y  = 
U. v ) )
923, 91sylan2 460 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  u  e.  ~P K )  ->  ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
9392ralrimiva 2660 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  ~P  K ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v
) )
9418iscmp 17171 . 2  |-  ( K  e.  Comp  <->  ( K  e. 
Top  /\  A. u  e.  ~P  K ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v
) ) )
952, 93, 94sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302   A.wral 2577   E.wrex 2578    i^i cin 3185    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   U_ciun 3942    e. cmpt 4114   `'ccnv 4725   dom cdm 4726   ran crn 4727   "cima 4729   -->wf 5288   -onto->wfo 5290  (class class class)co 5900   Fincfn 6906   Topctop 16687    Cn ccn 17010   Compccmp 17169
This theorem is referenced by:  rncmp  17179  txcmpb  17394  qtopcmp  17455  cmphmph  17535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-fin 6910  df-top 16692  df-topon 16695  df-cn 17013  df-cmp 17170
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