Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncmpmax Structured version   Unicode version

Theorem cncmpmax 27679
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the sup of the range of the function belongs to the range, it is real and it an upper bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cncmpmax.1  |-  T  = 
U. J
cncmpmax.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
cncmpmax.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
cncmpmax.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
cncmpmax.5  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
cncmpmax  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    t, F    t, T    ph, t    t, J   
t, K

Proof of Theorem cncmpmax
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncmpmax.1 . . 3  |-  T  = 
U. J
2 cncmpmax.2 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 cncmpmax.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 cncmpmax.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cncmpmax.5 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
61, 2, 3, 4, 5evth 18984 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )
7 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
82, 1, 7, 4fcnre 27672 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
9 frn 5597 . . . . . . . 8  |-  ( F : T --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ran  F 
C_  RR )
12 ffun 5593 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : T --> RR  ->  Fun 
F )
138, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  F )
1413adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  Fun  F )
15 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  T )
168adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  F : T --> RR )
17 fdm 5595 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : T --> RR  ->  dom 
F  =  T )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  dom  F  =  T )
1915, 18eleqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  dom  F )
20 fvelrn 5866 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  ran  F
)
2114, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
2221adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
23 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : T --> RR  ->  F  Fn  T )
24 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  T  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y ) )
258, 23, 243syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  F  <->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y ) )
2625biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y )
27 df-rex 2711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y  <->  E. s
( s  e.  T  /\  ( F `  s
)  =  y ) )
2826, 27sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s
( s  e.  T  /\  ( F `  s
)  =  y ) )
2928adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )
30 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
( F `  s
)  =  y )
31 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )
32 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
s  e.  T )
33 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  ( F `  t )  =  ( F `  s ) )
3433breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  t
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  s )  <_  ( F `  x )
) )
3534rspccva 3051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  <_  ( F `  x
) )
3631, 32, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
( F `  s
)  <_  ( F `  x ) )
3730, 36eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
y  <_  ( F `  x ) )
3829, 37exlimddv 1648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  <_  ( F `  x ) )
3938ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
)  ->  A. y  e.  ran  F  y  <_ 
( F `  x
) )
4039adantrl 697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. y  e.  ran  F  y  <_ 
( F `  x
) )
41 ubelsupr 27667 . . . . . 6  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ran  F  /\  A. y  e.  ran  F  y  <_  ( F `  x ) )  -> 
( F `  x
)  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
4211, 22, 40, 41syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( F `  x )  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
4342eqcomd 2441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  =  ( F `  x ) )
4443, 22eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F )
4511, 44sseldd 3349 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
46 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
)
4746, 35sylancom 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  ( F `  s )  <_  ( F `  x )
)
4843adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  =  ( F `
 x ) )
4947, 48breqtrrd 4238 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
5049ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. s  e.  T  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
5133breq1d 4222 . . . . 5  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  t
)  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <->  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
5251cbvralv 2932 . . . 4  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <->  A. s  e.  T  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
5350, 52sylibr 204 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
5444, 45, 533jca 1134 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
) )
556, 54rexlimddv 2834 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U.cuni 4015   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ran crn 4879   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121   (,)cioo 10916   topGenctg 13665    Cn ccn 17288   Compccmp 17449
This theorem is referenced by:  stoweidlem36  27761
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352
  Copyright terms: Public domain W3C validator