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Theorem cncmpmax 27806
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the sup of the range of the function belongs to the range, it is real and it an upper bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cncmpmax.1  |-  T  = 
U. J
cncmpmax.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
cncmpmax.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
cncmpmax.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
cncmpmax.5  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
cncmpmax  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    t, F    t, T    ph, t    t, J   
t, K

Proof of Theorem cncmpmax
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncmpmax.1 . . . 4  |-  T  = 
U. J
2 cncmpmax.2 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 cncmpmax.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 cncmpmax.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cncmpmax.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
61, 2, 3, 4, 5evth 18473 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )
7 df-rex 2562 . . 3  |-  ( E. x  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
)  <->  E. x ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) ) )
86, 7sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) ) )
9 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
102, 1, 9, 4fcnre 27799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
11 frn 5411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : T --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
1312adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ran  F 
C_  RR )
14 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ph )
15 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  x  e.  T )
1614, 15jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( ph  /\  x  e.  T
) )
17 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : T --> RR  ->  Fun 
F )
1810, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  F )
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  Fun  F )
20 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  T )
2110adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  F : T --> RR )
22 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : T --> RR  ->  dom 
F  =  T )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  dom  F  =  T )
2420, 23eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  dom  F )
2519, 24jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( Fun  F  /\  x  e. 
dom  F ) )
26 fvelrn 5677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  ran  F
)
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
2816, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
29 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
)
3014, 29jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )
31 df-f 5275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : T --> RR  <->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
3231simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : T --> RR  ->  F  Fn  T )
3310, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  Fn  T )
34 fvelrnb 5586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  T  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  F  <->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y ) )
3635biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y )
37 df-rex 2562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y  <->  E. s
( s  e.  T  /\  ( F `  s
)  =  y ) )
3836, 37sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s
( s  e.  T  /\  ( F `  s
)  =  y ) )
3938adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )
40 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
( F `  s
)  =  y )
41 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )
42 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
s  e.  T )
4341, 42jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )  /\  s  e.  T
) )
44 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  s  ->  ( F `  t )  =  ( F `  s ) )
4544breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  t
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  s )  <_  ( F `  x )
) )
4645rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  <_  ( F `  x
) )
4743, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
( F `  s
)  <_  ( F `  x ) )
4840, 47eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
y  <_  ( F `  x ) )
4948ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y )  ->  y  <_  ( F `  x
) ) )
5049exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( E. s ( s  e.  T  /\  ( F `  s )  =  y )  -> 
y  <_  ( F `  x ) ) )
5139, 50mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  <_  ( F `  x ) )
5251ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
)  ->  A. y  e.  ran  F  y  <_ 
( F `  x
) )
5330, 52syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. y  e.  ran  F  y  <_ 
( F `  x
) )
5413, 28, 533jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( ran  F  C_  RR  /\  ( F `  x )  e.  ran  F  /\  A. y  e.  ran  F  y  <_  ( F `  x ) ) )
55 ubelsupr 27794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ran  F  /\  A. y  e.  ran  F  y  <_  ( F `  x ) )  -> 
( F `  x
)  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( F `  x )  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
5756eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  =  ( F `  x ) )
5857, 28eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F )
5931simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( F : T --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
6010, 59syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
6160adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ran  F 
C_  RR )
6261, 58sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
63 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
)
64 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  s  e.  T )
6563, 64jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
)  /\  s  e.  T ) )
6665, 46syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  ( F `  s )  <_  ( F `  x )
)
6757adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  =  ( F `
 x ) )
6866, 67breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
6968ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. s  e.  T  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
7044breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  t
)  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <->  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
7170cbvralv 2777 . . . . . 6  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <->  A. s  e.  T  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
7269, 71sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
7358, 62, 723jca 1132 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
) )
7473ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
)  ->  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
) ) )
7574exlimdv 1626 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  -> 
( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) ) )
768, 75mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   topGenctg 13358    Cn ccn 16970   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  stoweidlem36  27888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
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