MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncnp Unicode version

Theorem cncnp 17009
Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncnp  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    x, X    x, Y

Proof of Theorem cncnp
Dummy variables  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 16965 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
21simprbda 606 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : X --> Y )
3 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
43cncnpi 17007 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  U. J )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
)
54ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
65adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
7 toponuni 16665 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
87ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  X  =  U. J )
98raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
106, 9mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
112, 10jca 518 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
12 simprl 732 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  F : X --> Y )
13 cnvimass 5033 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
14 fdm 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
1514adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  dom  F  =  X )
1613, 15syl5sseq 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( `' F " y )  C_  X
)
17 ssralv 3237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " y ) 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 x ) ) )
19 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
20 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  y  e.  K )
21 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2221ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  F  Fn  X )
23 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  x  e.  ( `' F "
y ) )
24 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " y )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( F `  x
)  e.  y ) ) )
2524simplbda 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  ( `' F " y ) )  ->  ( F `  x )  e.  y )
2622, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  ( F `  x )  e.  y )
27 cnpimaex 16986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 x )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
)
2819, 20, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) )
29 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  F : X --> Y )
30 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  Fun  F )
32 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3332ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
34 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_  X )
3533, 34sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_  X )
3629, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  dom  F  =  X )
3735, 36sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_ 
dom  F )
38 funimass3 5641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  u  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
u )  C_  y  <->  u 
C_  ( `' F " y ) ) )
3931, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( F " u
)  C_  y  <->  u  C_  ( `' F " y ) ) )
4039anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )  <->  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4140rexbidva 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  ( E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )  <->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4228, 41mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
4342expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  x  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4443ralimdva 2621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  ( `' F "
y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4518, 44syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4645impr 602 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
4746an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
48 topontop 16664 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4948ad3antrrr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  J  e.  Top )
50 eltop2 16713 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
5149, 50syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
5247, 51mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
5352ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )
541adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
5512, 53, 54mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
5611, 55impbida 805 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    CnP ccnp 16955
This theorem is referenced by:  cncnp2  17010  cnconst2  17011  1stccn  17189  ptcn  17321  cnflf  17697  cnfcf  17737  symgtgp  17784  ghmcnp  17797  metcn  18089  txmetcn  18094  cnlimc  19238  dvcn  19270  dvcnvre  19366  psercn  19802  abelth  19817  cxpcn3  20088  cvmlift2lem11  23844  cvmlift2lem12  23845  cvmlift3lem8  23857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-topgen 13344  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cnp 16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator