Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncombf Unicode version

Theorem cncombf 19013
 Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, can be a Borel-measurable function, but notably the condition that be only measurable is too weak, the usual counterexample taking to be the Cantor function and the indicator function of the -image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf MblFn MblFn

Proof of Theorem cncombf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . . . 5 MblFn
2 cncff 18397 . . . . 5
31, 2syl 15 . . . 4 MblFn
4 simp2 956 . . . 4 MblFn
5 fco 5398 . . . 4
63, 4, 5syl2anc 642 . . 3 MblFn
7 fdm 5393 . . . . . 6
84, 7syl 15 . . . . 5 MblFn
9 mbfdm 18983 . . . . . 6 MblFn
1093ad2ant1 976 . . . . 5 MblFn
118, 10eqeltrrd 2358 . . . 4 MblFn
12 mblss 18890 . . . 4
1311, 12syl 15 . . 3 MblFn
14 cnex 8818 . . . 4
15 reex 8828 . . . 4
16 elpm2r 6788 . . . 4
1714, 15, 16mpanl12 663 . . 3
186, 13, 17syl2anc 642 . 2 MblFn
19 recncf 18406 . . . . . . . 8
2019a1i 10 . . . . . . 7 MblFn
211, 20cncfco 18411 . . . . . 6 MblFn
2221adantr 451 . . . . 5 MblFn
23 cnvco 4865 . . . . . . . . . 10
2423imaeq1i 5009 . . . . . . . . 9
25 imaco 5178 . . . . . . . . 9
2624, 25eqtri 2303 . . . . . . . 8
27 simplll 734 . . . . . . . . 9 MblFn MblFn
28 simpllr 735 . . . . . . . . 9 MblFn
29 cncfrss 18395 . . . . . . . . . 10
3029adantl 452 . . . . . . . . 9 MblFn
31 simpr 447 . . . . . . . . . . 11 MblFn
32 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . . 12
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13 fldt fldt
3533tgioo2 18309 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
3633, 34, 35cncfcn 18413 . . . . . . . . . . . 12 fldt
3730, 32, 36sylancl 643 . . . . . . . . . . 11 MblFn fldt
3831, 37eleqtrd 2359 . . . . . . . . . 10 MblFn fldt
39 retopbas 18269 . . . . . . . . . . . 12
40 bastg 16704 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
42 simplr 731 . . . . . . . . . . 11 MblFn
4341, 42sseldi 3178 . . . . . . . . . 10 MblFn
44 cnima 16994 . . . . . . . . . 10 fldt fldt
4538, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . 9 MblFn fldt
4633, 34mbfimaopn2 19012 . . . . . . . . 9 MblFn fldt
4727, 28, 30, 45, 46syl31anc 1185 . . . . . . . 8 MblFn
4826, 47syl5eqel 2367 . . . . . . 7 MblFn
4948ralrimiva 2626 . . . . . 6 MblFn
50493adantl3 1113 . . . . 5 MblFn
51 coeq1 4841 . . . . . . . . . 10
52 coass 5191 . . . . . . . . . 10
5351, 52syl6eq 2331 . . . . . . . . 9
5453cnveqd 4857 . . . . . . . 8
5554imaeq1d 5011 . . . . . . 7
5655eleq1d 2349 . . . . . 6
5756rspcv 2880 . . . . 5
5822, 50, 57sylc 56 . . . 4 MblFn
59 imcncf 18407 . . . . . . . 8
6059a1i 10 . . . . . . 7 MblFn
611, 60cncfco 18411 . . . . . 6 MblFn
6261adantr 451 . . . . 5 MblFn
63 coeq1 4841 . . . . . . . . . 10
64 coass 5191 . . . . . . . . . 10
6563, 64syl6eq 2331 . . . . . . . . 9
6665cnveqd 4857 . . . . . . . 8
6766imaeq1d 5011 . . . . . . 7
6867eleq1d 2349 . . . . . 6
6968rspcv 2880 . . . . 5
7062, 50, 69sylc 56 . . . 4 MblFn
7158, 70jca 518 . . 3 MblFn
7271ralrimiva 2626 . 2 MblFn
73 ismbf1 18981 . 2 MblFn
7418, 72, 73sylanbrc 645 1 MblFn MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   wss 3152  ccnv 4688   cdm 4689   crn 4690  cima 4692   ccom 4693  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cpm 6773  cc 8735  cr 8736  cioo 10656  cre 11582  cim 11583   ↾t crest 13325  ctopn 13326  ctg 13342  ℂfldccnfld 16377  ctb 16635   ccn 16954  ccncf 18380  cvol 18823  MblFncmbf 18969 This theorem is referenced by:  iblabslem  19182  iblabs  19183  bddmulibl  19193 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
 Copyright terms: Public domain W3C validator