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Theorem cnconn 17408
Description: Connectedness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnconn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnconn  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Con )

Proof of Theorem cnconn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 17229 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 980 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Top )
3 df-ne 2554 . . . . . . 7  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
4 eqid 2389 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
5 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  J  e.  Con )
6 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
7 inss1 3506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  K
8 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )
97, 8sseldi 3291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  K
)
10 cnima 17253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
x )  e.  J
)
116, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J
)
12 elssuni 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  K  ->  x  C_ 
U. K )
139, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  U. K
)
14 cnconn.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  = 
U. K
1513, 14syl6sseqr 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  Y
)
16 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
17 forn 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ran  F  =  Y )
1915, 18sseqtr4d 3330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  ran  F )
20 df-rn 4831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  F  =  dom  `' F
2119, 20syl6sseq 3339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  dom  `' F )
22 dfss1 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  dom  `' F  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  x )
2321, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  x )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
2523, 24eqnetrd 2570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( dom  `' F  i^i  x )  =/=  (/) )
26 imadisj 5165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " x )  =  (/)  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  (/) )
2726necon3bii 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " x )  =/=  (/)  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =/=  (/) )
2825, 27sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =/=  (/) )
29 inss2 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  ( Clsd `  K )
3029, 8sseldi 3291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  (
Clsd `  K )
)
31 cnclima 17256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' F "
x )  e.  (
Clsd `  J )
)
326, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  (
Clsd `  J )
)
334, 5, 11, 28, 32conclo 17401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =  U. J )
344, 14cnf 17234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
35 fdm 5537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> Y  ->  dom  F  =  U. J
)
366, 34, 353syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  F  =  U. J )
37 fof 5595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
38 fdm 5537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
3916, 37, 383syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  F  =  X )
4033, 36, 393eqtr2d 2427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =  X )
4140imaeq2d 5145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  ( F " X
) )
42 foimacnv 5634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  x  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  x )
4316, 15, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  x )
44 foima 5600 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
4516, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F " X )  =  Y )
4641, 43, 453eqtr3d 2429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =  Y )
4746expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  x  =  Y ) )
483, 47syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( -.  x  =  (/)  ->  x  =  Y ) )
4948orrd 368 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  =  Y ) )
50 vex 2904 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
5150elpr 3777 . . . . 5  |-  ( x  e.  { (/) ,  Y } 
<->  ( x  =  (/)  \/  x  =  Y ) )
5249, 51sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  x  e.  { (/)
,  Y } )
5352ex 424 . . 3  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  ->  x  e.  { (/) ,  Y } ) )
5453ssrdv 3299 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) 
C_  { (/) ,  Y } )
5514iscon2 17400 . 2  |-  ( K  e.  Con  <->  ( K  e.  Top  /\  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  { (/) ,  Y } ) )
562, 54, 55sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   {cpr 3760   U.cuni 3959   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   ran crn 4821   "cima 4823   -->wf 5392   -onto->wfo 5394   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Topctop 16883   Clsdccld 17005    Cn ccn 17212   Conccon 17397
This theorem is referenced by:  conima  17411  concn  17412  qtopcon  17664  conhmph  17744  ivthALT  26031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-fo 5402  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-map 6958  df-top 16888  df-topon 16891  df-cld 17008  df-cn 17215  df-con 17398
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