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Theorem cnconn 17164
Description: Connectedness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnconn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnconn  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Con )

Proof of Theorem cnconn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 16987 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Top )
3 df-ne 2461 . . . . . . 7  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
4 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
5 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  J  e.  Con )
6 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
7 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  K
8 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )
97, 8sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  K
)
10 cnima 17010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
x )  e.  J
)
116, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J
)
12 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  K  ->  x  C_ 
U. K )
139, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  U. K
)
14 cnconn.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  = 
U. K
1513, 14syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  Y
)
16 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
17 forn 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ran  F  =  Y )
1915, 18sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  ran  F )
20 df-rn 4716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  F  =  dom  `' F
2119, 20syl6sseq 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  dom  `' F )
22 dfss1 3386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  dom  `' F  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  x )
2321, 22sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  x )
24 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
2523, 24eqnetrd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( dom  `' F  i^i  x )  =/=  (/) )
26 imadisj 5048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " x )  =  (/)  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  (/) )
2726necon3bii 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " x )  =/=  (/)  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =/=  (/) )
2825, 27sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =/=  (/) )
29 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  ( Clsd `  K )
3029, 8sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  (
Clsd `  K )
)
31 cnclima 17013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' F "
x )  e.  (
Clsd `  J )
)
326, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  (
Clsd `  J )
)
334, 5, 11, 28, 32conclo 17157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =  U. J )
344, 14cnf 16992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
35 fdm 5409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> Y  ->  dom  F  =  U. J
)
366, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  F  =  U. J )
37 fof 5467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
38 fdm 5409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
3916, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  F  =  X )
4033, 36, 393eqtr2d 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =  X )
4140imaeq2d 5028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  ( F " X
) )
42 foimacnv 5506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  x  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  x )
4316, 15, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  x )
44 foima 5472 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
4516, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F " X )  =  Y )
4641, 43, 453eqtr3d 2336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =  Y )
4746expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  x  =  Y ) )
483, 47syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( -.  x  =  (/)  ->  x  =  Y ) )
4948orrd 367 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  =  Y ) )
50 vex 2804 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
5150elpr 3671 . . . . 5  |-  ( x  e.  { (/) ,  Y } 
<->  ( x  =  (/)  \/  x  =  Y ) )
5249, 51sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  x  e.  { (/)
,  Y } )
5352ex 423 . . 3  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  ->  x  e.  { (/) ,  Y } ) )
5453ssrdv 3198 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) 
C_  { (/) ,  Y } )
5514iscon2 17156 . 2  |-  ( K  e.  Con  <->  ( K  e.  Top  /\  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  { (/) ,  Y } ) )
562, 54, 55sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {cpr 3654   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970   Conccon 17153
This theorem is referenced by:  conima  17167  concn  17168  qtopcon  17416  conhmph  17496  ivthALT  26361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cn 16973  df-con 17154
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