Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnconst2 Structured version   Unicode version

Theorem cnconst2 17339
 Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnconst2 TopOn TopOn

Proof of Theorem cnconst2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5624 . . 3
213ad2ant3 980 . 2 TopOn TopOn
32adantr 452 . . . 4 TopOn TopOn
4 simpll3 998 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
5 simplr 732 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
6 fvconst2g 5937 . . . . . . . 8
74, 5, 6syl2anc 643 . . . . . . 7 TopOn TopOn
87eleq1d 2501 . . . . . 6 TopOn TopOn
9 simpll1 996 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
10 toponmax 16985 . . . . . . . . 9 TopOn
119, 10syl 16 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
12 simplr 732 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
13 df-ima 4883 . . . . . . . . 9
14 ssid 3359 . . . . . . . . . . . . 13
15 xpssres 5172 . . . . . . . . . . . . 13
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
1716rneqi 5088 . . . . . . . . . . 11
18 rnxpss 5293 . . . . . . . . . . 11
1917, 18eqsstri 3370 . . . . . . . . . 10
20 simprr 734 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
2120snssd 3935 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
2219, 21syl5ss 3351 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
2313, 22syl5eqss 3384 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
24 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10
25 imaeq2 5191 . . . . . . . . . . 11
2625sseq1d 3367 . . . . . . . . . 10
2724, 26anbi12d 692 . . . . . . . . 9
2827rspcev 3044 . . . . . . . 8
2911, 12, 23, 28syl12anc 1182 . . . . . . 7 TopOn TopOn
3029expr 599 . . . . . 6 TopOn TopOn
318, 30sylbid 207 . . . . 5 TopOn TopOn
3231ralrimiva 2781 . . . 4 TopOn TopOn
33 simpl1 960 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
34 simpl2 961 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
35 simpr 448 . . . . 5 TopOn TopOn
36 iscnp 17293 . . . . 5 TopOn TopOn
3733, 34, 35, 36syl3anc 1184 . . . 4 TopOn TopOn
383, 32, 37mpbir2and 889 . . 3 TopOn TopOn
3938ralrimiva 2781 . 2 TopOn TopOn
40 cncnp 17336 . . 3 TopOn TopOn
41403adant3 977 . 2 TopOn TopOn
422, 39, 41mpbir2and 889 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  csn 3806   cxp 4868   crn 4871   cres 4872  cima 4873  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  TopOnctopon 16951   ccn 17280   ccnp 17281 This theorem is referenced by:  cnconst  17340  xkoccn  17643  txkgen  17676  cnmptc  17686  pcoptcl  19038  blocni  22298  conpcon  24914  cvmliftphtlem  24996  cvmlift3lem9  25006  stoweidlem47  27763 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-topgen 13659  df-top 16955  df-topon 16958  df-cn 17283  df-cnp 17284
 Copyright terms: Public domain W3C validator