MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncrng Structured version   Unicode version

Theorem cncrng 16722
Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncrng  |-fld  e.  CRing

Proof of Theorem cncrng
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 16707 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  CC  =  ( Base ` fld ) )
3 cnfldadd 16708 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
43a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  +  =  ( +g  ` fld ) )
5 cnfldmul 16709 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
65a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  x.  =  ( .r
` fld
) )
7 addcl 9072 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
8 addass 9077 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
9 0cn 9084 . . . . 5  |-  0  e.  CC
10 addid2 9249 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  x )  =  x )
11 negcl 9306 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
12 addcom 9252 . . . . . . 7  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u x  +  x )  =  ( x  +  -u x
) )
1311, 12mpancom 651 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  ( x  +  -u x ) )
14 negid 9348 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  0 )
1513, 14eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  0 )
161, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15isgrpi 14831 . . . 4  |-fld  e.  Grp
1716a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->fld  e. 
Grp )
18 mulcl 9074 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
19183adant1 975 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
x  x.  y )  e.  CC )
20 mulass 9078 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  z )  =  ( x  x.  ( y  x.  z
) ) )
2120adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  x.  y )  x.  z
)  =  ( x  x.  ( y  x.  z ) ) )
22 adddi 9079 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( y  +  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  +  ( x  x.  z
) ) )
2322adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  (
y  +  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  +  ( x  x.  z ) ) )
24 adddir 9083 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  x.  z )  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z
) ) )
2524adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  y )  x.  z
)  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z ) ) )
26 ax-1cn 9048 . . . 4  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
28 mulid2 9089 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
2928adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  x.  x )  =  x )
30 mulid1 9088 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
3130adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
32 mulcom 9076 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
33323adant1 975 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
x  x.  y )  =  ( y  x.  x ) )
342, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33iscrngd 15699 . 2  |-  (  T. 
->fld  e. 
CRing )
3534trud 1332 1  |-fld  e.  CRing
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 936    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   -ucneg 9292   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530   Grpcgrp 14685   CRingccrg 15661  ℂfldccnfld 16703
This theorem is referenced by:  cnrng  16723  cnmgpabl  16760  zlmassa  16805  zncrng2  16815  znzrh2  16826  plypf1  20131  amgmlem  20828  amgm  20829  wilthlem2  20852  wilthlem3  20853  zzs0  24267  re0g  24273  refld  24279  mzpmfp  26804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-cnfld 16704
  Copyright terms: Public domain W3C validator