MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncrng Unicode version

Theorem cncrng 16395
Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncrng  |-fld  e.  CRing

Proof of Theorem cncrng
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 16383 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
21a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  CC  =  ( Base ` fld ) )
3 cnfldadd 16384 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
43a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  +  =  ( +g  ` fld ) )
5 cnfldmul 16385 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
65a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  x.  =  ( .r
` fld
) )
7 addcl 8819 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
8 addass 8824 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
9 0cn 8831 . . . . 5  |-  0  e.  CC
10 addid2 8995 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  x )  =  x )
11 negcl 9052 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
12 addcom 8998 . . . . . . 7  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u x  +  x )  =  ( x  +  -u x
) )
1311, 12mpancom 650 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  ( x  +  -u x ) )
14 negid 9094 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  0 )
1513, 14eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  0 )
161, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15isgrpi 14508 . . . 4  |-fld  e.  Grp
1716a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->fld  e. 
Grp )
18 mulcl 8821 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
19183adant1 973 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
x  x.  y )  e.  CC )
20 mulass 8825 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  z )  =  ( x  x.  ( y  x.  z
) ) )
2120adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  x.  y )  x.  z
)  =  ( x  x.  ( y  x.  z ) ) )
22 adddi 8826 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( y  +  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  +  ( x  x.  z
) ) )
2322adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  (
y  +  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  +  ( x  x.  z ) ) )
24 adddir 8830 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  x.  z )  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z
) ) )
2524adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  y )  x.  z
)  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z ) ) )
26 ax-1cn 8795 . . . 4  |-  1  e.  CC
2726a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
28 mulid2 8836 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
2928adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  x.  x )  =  x )
30 mulid1 8835 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
3130adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
32 mulcom 8823 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
33323adant1 973 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
x  x.  y )  =  ( y  x.  x ) )
342, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33iscrngd 15376 . 2  |-  (  T. 
->fld  e. 
CRing )
3534trud 1314 1  |-fld  e.  CRing
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   -ucneg 9038   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   Grpcgrp 14362   CRingccrg 15338  ℂfldccnfld 16377
This theorem is referenced by:  cnrng  16396  cnmgpabl  16433  zlmassa  16478  zncrng2  16488  znzrh2  16499  plypf1  19594  amgmlem  20284  amgm  20285  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  mzpmfp  26825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-cnfld 16378
  Copyright terms: Public domain W3C validator