MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncvc Structured version   Unicode version

Theorem cncvc 22054
Description: The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is  +, and the scalar product is  x.. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cncvc  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD

Proof of Theorem cncvc
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 21930 . 2  |-  +  e.  AbelOp
2 ax-addf 9061 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
32fdmi 5588 . 2  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
4 ax-mulf 9062 . 2  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
5 mulid2 9081 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
6 adddi 9071 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
y  x.  ( x  +  z ) )  =  ( ( y  x.  x )  +  ( y  x.  z
) ) )
7 adddir 9075 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  +  z )  x.  x )  =  ( ( y  x.  x )  +  ( z  x.  x
) ) )
8 mulass 9070 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  x )  =  ( y  x.  ( z  x.  x
) ) )
9 eqid 2435 . 2  |-  <.  +  ,  x.  >.  =  <.  +  ,  x.  >.
101, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isvci 22053 1  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   <.cop 3809    X. cxp 4868   CCcc 8980    + caddc 8985    x. cmul 8987   CVec OLDcvc 22016
This theorem is referenced by:  cnnv  22160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285  df-neg 9286  df-grpo 21771  df-ablo 21862  df-vc 22017
  Copyright terms: Public domain W3C validator