Theorem cnegextlem2 5346

Description: Lemma for cnegext 5348.

Assertion

Ref	Expression
cnegextlem2	|- E.y e. RR (i x. y) e. RR

Proof of Theorem cnegextlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 5328	. . 3 |- 0 e. CC
2		axcnre 5286	. . 3 |- (0 e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y))
4		axrnegex 5283	. . . . . 6 |- (x e. RR -> E.z e. RR (x + z) = 0)
5	4	adantr 389	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> E.z e. RR (x + z) = 0)
6		addid2t 5329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. CC -> (0 + z) = z)
7	6	3ad2ant3 802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> (0 + z) = z)
8	7	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (0 + z) = z)
9		opreq1 3968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x + z) = 0 -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + (i x. y)))
10	9	ad2antrl 406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + (i x. y)))
11		add23t 5337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. CC /\ z e. CC /\ (i x. y) e. CC) -> ((x + z) + (i x. y)) = ((x + (i x. y)) + z))
12	11	3com23 839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> ((x + z) + (i x. y)) = ((x + (i x. y)) + z))
13		opreq1 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (0 = (x + (i x. y)) -> (0 + z) = ((x + (i x. y)) + z))
14	13	eqcomd 1480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (0 = (x + (i x. y)) -> ((x + (i x. y)) + z) = (0 + z))
15	12, 14	sylan9eq 1527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ 0 = (x + (i x. y))) -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + z))
16	15	adantrl 394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> ((x + z) + (i x. y)) = (0 + z))
17		addid2t 5329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((i x. y) e. CC -> (0 + (i x. y)) = (i x. y))
18	17	3ad2ant2 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> (0 + (i x. y)) = (i x. y))
19	18	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (0 + (i x. y)) = (i x. y))
20	10, 16, 19	3eqtr3d 1515	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (0 + z) = (i x. y))
21	8, 20	eqtr3d 1509	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> z = (i x. y))
22	21	ex 373	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. CC /\ (i x. y) e. CC /\ z e. CC) -> (((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y))) -> z = (i x. y)))
23		recnt 5313	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> x e. CC)
24		recnt 5313	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. RR -> y e. CC)
25		axicn 5270	. . . . . . . . . . . . 13 |- i e. CC
26		axmulcl 5273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((i e. CC /\ y e. CC) -> (i x. y) e. CC)
27	25, 26	mpan 695	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. CC -> (i x. y) e. CC)
28	24, 27	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. RR -> (i x. y) e. CC)
29		recnt 5313	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. RR -> z e. CC)
30	22, 23, 28, 29	syl3an 868	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR) -> (((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y))) -> z = (i x. y)))
31	30	3expa 833	. . . . . . . . 9 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) -> (((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y))) -> z = (i x. y)))
32	31	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> z = (i x. y))
33		simplr 413	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> z e. RR)
34	32, 33	eqeltrrd 1549	. . . . . . 7 |- ((((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) /\ ((x + z) = 0 /\ 0 = (x + (i x. y)))) -> (i x. y) e. RR)
35	34	exp32 377	. . . . . 6 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ z e. RR) -> ((x + z) = 0 -> (0 = (x + (i x. y)) -> (i x. y) e. RR)))
36	35	r19.23adva 1747	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (E.z e. RR (x + z) = 0 -> (0 = (x + (i x. y)) -> (i x. y) e. RR)))
37	5, 36	mpd 26	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (0 = (x + (i x. y)) -> (i x. y) e. RR))
38	37	r19.22dva 1739	. . 3 |- (x e. RR -> (E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)) -> E.y e. RR (i x. y) e. RR))
39	38	r19.23aiv 1743	. 2 |- (E.x e. RR E.y e. RR 0 = (x + (i x. y)) -> E.y e. RR (i x. y) e. RR)
40	3, 39	ax-mp 7	1 |- E.y e. RR (i x. y) e. RR

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239

This theorem is referenced by:  cnegext 5348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246

Copyright terms: Public domain