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Theorem cnextfvval 18101
Description: The value of the continuous extension of a given function  F at a point  X. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1  |-  C  = 
U. J
cnextf.2  |-  B  = 
U. K
cnextf.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
cnextf.4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
cnextf.5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
cnextf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
cnextf.6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
cnextf.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
cnextfvval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F    x, J    x, K    x, X    ph, x

Proof of Theorem cnextfvval
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
21adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  J  e.  Top )
3 cnextf.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
43adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
5 cnextf.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
65adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  F : A --> B )
7 cnextf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
87adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  A  C_  C )
9 cnextf.1 . . . 4  |-  C  = 
U. J
10 cnextf.2 . . . 4  |-  B  = 
U. K
119, 10cnextfun 18100 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
122, 4, 6, 8, 11syl22anc 1186 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
13 cnextf.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
1413eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  X  e.  C ) )
1514biimpar 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
16 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
1716uniex 4708 . . . . . 6  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
1817snid 3843 . . . . 5  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) }
19 sneq 3827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
2019fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { X } ) )
2120oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) )
2221oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { x }
)t 
A ) )  =  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) )
2322fveq1d 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
2423breq1d 4225 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) )
2524imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) 
<->  ( ph  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) ) )
263adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
271adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  Top )
289toptopon 17003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
2927, 28sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
307adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A  C_  C )
31 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
3213eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  x  e.  C ) )
3332biimpar 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
34 trnei 17929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
3534biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
3629, 30, 31, 33, 35syl31anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
375adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : A --> B )
38 cnextf.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
3910hausflf2 18035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
4026, 36, 37, 38, 39syl31anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
4140expcom 426 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  C  ->  ( ph  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) ) `  F ) 
~~  1o ) )
4225, 41vtoclga 3019 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  C  ->  ( ph  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) )
4342impcom 421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
44 en1b 7178 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) } )
4543, 44sylib 190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) } )
4618, 45syl5eleqr 2525 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
47 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ x X
48 nfiu1 4123 . . . . . . . 8  |-  F/_ x U_ x  e.  (
( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
4948nfel2 2586 . . . . . . 7  |-  F/ x <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
50 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ x
( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
5149, 50nfbi 1857 . . . . . 6  |-  F/ x
( <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
52 opeq1 3986 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  <. x ,  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  =  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >. )
5352eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( <. x ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
54 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
) )
5523eleq2d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  <->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
5654, 55anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
5753, 56bibi12d 314 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( <. x ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )  <-> 
( <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) ) )
58 opeliunxp 4932 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
5947, 51, 57, 58vtoclgf 3012 . . . . 5  |-  ( X  e.  C  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6059adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6115, 46, 60mpbir2and 890 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
62 df-br 4216 . . . 4  |-  ( X ( ( JCnExt K
) `  F ) U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  ( ( JCnExt K ) `
 F ) )
63 haustop 17400 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
643, 63syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
6564adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  K  e.  Top )
669, 10cnextfval 18098 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
672, 65, 6, 8, 66syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
6867eleq2d 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  ( ( JCnExt K ) `
 F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6962, 68syl5bb 250 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( X ( ( JCnExt
K ) `  F
) U. ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
7061, 69mpbird 225 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X
( ( JCnExt K
) `  F ) U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
71 funbrfv 5768 . 2  |-  ( Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )  ->  ( X ( ( JCnExt K ) `  F ) U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
7212, 70, 71sylc 59 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017   U_ciun 4095   class class class wbr 4215    X. cxp 4879   Fun wfun 5451   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1oc1o 6720    ~~ cen 7109   ↾t crest 13653   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   clsccl 17087   neicnei 17166   Hauscha 17377   Filcfil 17882    fLimf cflf 17972  CnExtccnext 18095
This theorem is referenced by:  cnextcn  18103  cnextfres  18104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-1o 6727  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-rest 13655  df-fbas 16704  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-haus 17384  df-fil 17883  df-flim 17976  df-flf 17977  df-cnext 18096
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