MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnf Unicode version

Theorem cnf 16976
Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscnp2.1  |-  X  = 
U. J
iscnp2.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnf  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscnp2.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
2 iscnp2.2 . . . 4  |-  Y  = 
U. K
31, 2iscn2 16968 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simprbi 450 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
54simpld 445 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251  (class class class)co 5858   Topctop 16631    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  cnco  16995  cnclima  16997  cnntri  17000  cnclsi  17001  cnss1  17005  cnss2  17006  cncnpi  17007  cncnp2  17010  cnrest  17013  cnrest2  17014  cnt0  17074  cnt1  17078  cnhaus  17082  dnsconst  17106  cncmp  17119  rncmp  17123  imacmp  17124  cnconn  17148  conima  17151  concn  17152  2ndcomap  17184  kgencn2  17252  kgencn3  17253  txcnmpt  17318  uptx  17319  txcn  17320  hauseqlcld  17340  xkohaus  17347  xkoptsub  17348  xkopjcn  17350  xkoco1cn  17351  xkoco2cn  17352  xkococnlem  17353  cnmpt11f  17358  cnmpt21f  17366  hmeocnv  17453  hmeores  17462  txhmeo  17494  bndth  18456  evth  18457  evth2  18458  htpyco2  18477  phtpyco2  18488  reparphti  18495  copco  18516  pcopt  18520  pcopt2  18521  pcoass  18522  pcorevlem  18524  pcorev2  18526  esumcocn  23448  cnmbfm  23568  cnpcon  23761  ptpcon  23764  sconpi1  23770  txsconlem  23771  cvxscon  23774  cvmseu  23807  cvmopnlem  23809  cvmfolem  23810  cvmliftmolem1  23812  cvmliftmolem2  23813  cvmliftlem3  23818  cvmliftlem6  23821  cvmliftlem7  23822  cvmliftlem8  23823  cvmliftlem9  23824  cvmliftlem10  23825  cvmliftlem11  23826  cvmliftlem13  23827  cvmliftlem15  23829  cvmlift2lem3  23836  cvmlift2lem5  23838  cvmlift2lem7  23840  cvmlift2lem9  23842  cvmlift2lem10  23843  cvmliftphtlem  23848  cvmlift3lem1  23850  cvmlift3lem2  23851  cvmlift3lem4  23853  cvmlift3lem5  23854  cvmlift3lem6  23855  cvmlift3lem7  23856  cvmlift3lem8  23857  cvmlift3lem9  23858  cnres2  26483  cnresima  26484  hausgraph  27531  refsum2cnlem1  27708  stoweidlem62  27811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator