MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnf Unicode version

Theorem cnf 16992
Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscnp2.1  |-  X  = 
U. J
iscnp2.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnf  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscnp2.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
2 iscnp2.2 . . . 4  |-  Y  = 
U. K
31, 2iscn2 16984 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simprbi 450 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
54simpld 445 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267  (class class class)co 5874   Topctop 16647    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  cnco  17011  cnclima  17013  cnntri  17016  cnclsi  17017  cnss1  17021  cnss2  17022  cncnpi  17023  cncnp2  17026  cnrest  17029  cnrest2  17030  cnt0  17090  cnt1  17094  cnhaus  17098  dnsconst  17122  cncmp  17135  rncmp  17139  imacmp  17140  cnconn  17164  conima  17167  concn  17168  2ndcomap  17200  kgencn2  17268  kgencn3  17269  txcnmpt  17334  uptx  17335  txcn  17336  hauseqlcld  17356  xkohaus  17363  xkoptsub  17364  xkopjcn  17366  xkoco1cn  17367  xkoco2cn  17368  xkococnlem  17369  cnmpt11f  17374  cnmpt21f  17382  hmeocnv  17469  hmeores  17478  txhmeo  17510  bndth  18472  evth  18473  evth2  18474  htpyco2  18493  phtpyco2  18504  reparphti  18511  copco  18532  pcopt  18536  pcopt2  18537  pcoass  18538  pcorevlem  18540  pcorev2  18542  esumcocn  23463  cnmbfm  23583  cnpcon  23776  ptpcon  23779  sconpi1  23785  txsconlem  23786  cvxscon  23789  cvmseu  23822  cvmopnlem  23824  cvmfolem  23825  cvmliftmolem1  23827  cvmliftmolem2  23828  cvmliftlem3  23833  cvmliftlem6  23836  cvmliftlem7  23837  cvmliftlem8  23838  cvmliftlem9  23839  cvmliftlem10  23840  cvmliftlem11  23841  cvmliftlem13  23842  cvmliftlem15  23844  cvmlift2lem3  23851  cvmlift2lem5  23853  cvmlift2lem7  23855  cvmlift2lem9  23857  cvmlift2lem10  23858  cvmliftphtlem  23863  cvmlift3lem1  23865  cvmlift3lem2  23866  cvmlift3lem4  23868  cvmlift3lem5  23869  cvmlift3lem6  23870  cvmlift3lem7  23871  cvmlift3lem8  23872  cvmlift3lem9  23873  cnres2  26586  cnresima  26587  hausgraph  27634  refsum2cnlem1  27811  stoweidlem62  27914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator