MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnf Structured version   Unicode version

Theorem cnf 17312
Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscnp2.1  |-  X  = 
U. J
iscnp2.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnf  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscnp2.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
2 iscnp2.2 . . . 4  |-  Y  = 
U. K
31, 2iscn2 17304 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simprbi 452 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
54simpld 447 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   U.cuni 4017   `'ccnv 4879   "cima 4883   -->wf 5452  (class class class)co 6083   Topctop 16960    Cn ccn 17290
This theorem is referenced by:  cnco  17332  cnclima  17334  cnntri  17337  cnclsi  17338  cnss1  17342  cnss2  17343  cncnpi  17344  cncnp2  17347  cnrest  17351  cnrest2  17352  cnt0  17412  cnt1  17416  cnhaus  17420  dnsconst  17444  cncmp  17457  rncmp  17461  imacmp  17462  cnconn  17487  conima  17490  concn  17491  2ndcomap  17523  kgencn2  17591  kgencn3  17592  txcnmpt  17658  uptx  17659  txcn  17660  hauseqlcld  17680  xkohaus  17687  xkoptsub  17688  xkopjcn  17690  xkoco1cn  17691  xkoco2cn  17692  xkococnlem  17693  cnmpt11f  17698  cnmpt21f  17706  hmeocnv  17796  hmeores  17805  txhmeo  17837  bndth  18985  evth  18986  evth2  18987  htpyco2  19006  phtpyco2  19017  reparphti  19024  copco  19045  pcopt  19049  pcopt2  19050  pcoass  19051  pcorevlem  19053  pcorev2  19055  hauseqcn  24295  rrhf  24383  esumcocn  24472  cnmbfm  24615  cnpcon  24919  ptpcon  24922  sconpi1  24928  txsconlem  24929  cvxscon  24932  cvmseu  24965  cvmopnlem  24967  cvmfolem  24968  cvmliftmolem1  24970  cvmliftmolem2  24971  cvmliftlem3  24976  cvmliftlem6  24979  cvmliftlem7  24980  cvmliftlem8  24981  cvmliftlem9  24982  cvmliftlem10  24983  cvmliftlem11  24984  cvmliftlem13  24985  cvmliftlem15  24987  cvmlift2lem3  24994  cvmlift2lem5  24996  cvmlift2lem7  24998  cvmlift2lem9  25000  cvmlift2lem10  25001  cvmliftphtlem  25006  cvmlift3lem1  25008  cvmlift3lem2  25009  cvmlift3lem4  25011  cvmlift3lem5  25012  cvmlift3lem6  25013  cvmlift3lem7  25014  cvmlift3lem8  25015  cvmlift3lem9  25016  cnres2  26474  cnresima  26475  hausgraph  27510  refsum2cnlem1  27686  stoweidlem62  27789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-top 16965  df-topon 16968  df-cn 17293
  Copyright terms: Public domain W3C validator