MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnf2 Unicode version

Theorem cnf2 16979
Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 16965 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
21simprbda 606 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : X --> Y )
323impa 1146 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   A.wral 2543   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  iscncl  16998  cncls2  17002  cncls  17003  cnntr  17004  cnrest2  17014  cnrest2r  17015  ptcn  17321  txdis1cn  17329  lmcn2  17343  cnmpt11  17357  cnmpt1t  17359  cnmpt12  17361  cnmpt21  17365  cnmpt2t  17367  cnmpt22  17368  cnmpt22f  17369  cnmptcom  17372  cnmptkp  17374  cnmptk1  17375  cnmpt1k  17376  cnmptkk  17377  cnmptk1p  17379  cnmptk2  17380  cnmpt2k  17382  qtopss  17406  qtopeu  17407  qtopomap  17409  qtopcmap  17410  hmeof1o2  17454  xpstopnlem1  17500  xkocnv  17505  xkohmeo  17506  qtophmeo  17508  cnmpt1plusg  17770  cnmpt2plusg  17771  tsmsmhm  17828  cnmpt1vsca  17876  cnmpt2vsca  17877  cnmpt1ds  18347  cnmpt2ds  18348  fsumcn  18374  cnmpt2pc  18426  htpyco1  18476  htpyco2  18477  phtpyco2  18488  pi1xfrf  18551  pi1xfr  18553  pi1xfrcnvlem  18554  pi1xfrcnv  18555  pi1cof  18557  pi1coghm  18559  cnmpt1ip  18674  cnmpt2ip  18675  txsconlem  23182  txscon  23183  cvmlift3lem6  23266  fcnre  27108  refsumcn  27113  refsum2cnlem1  27120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator