MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnf2 Unicode version

Theorem cnf2 16995
Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 16981 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
21simprbda 606 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : X --> Y )
323impa 1146 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   A.wral 2556   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  iscncl  17014  cncls2  17018  cncls  17019  cnntr  17020  cnrest2  17030  cnrest2r  17031  ptcn  17337  txdis1cn  17345  lmcn2  17359  cnmpt11  17373  cnmpt1t  17375  cnmpt12  17377  cnmpt21  17381  cnmpt2t  17383  cnmpt22  17384  cnmpt22f  17385  cnmptcom  17388  cnmptkp  17390  cnmptk1  17391  cnmpt1k  17392  cnmptkk  17393  cnmptk1p  17395  cnmptk2  17396  cnmpt2k  17398  qtopss  17422  qtopeu  17423  qtopomap  17425  qtopcmap  17426  hmeof1o2  17470  xpstopnlem1  17516  xkocnv  17521  xkohmeo  17522  qtophmeo  17524  cnmpt1plusg  17786  cnmpt2plusg  17787  tsmsmhm  17844  cnmpt1vsca  17892  cnmpt2vsca  17893  cnmpt1ds  18363  cnmpt2ds  18364  fsumcn  18390  cnmpt2pc  18442  htpyco1  18492  htpyco2  18493  phtpyco2  18504  pi1xfrf  18567  pi1xfr  18569  pi1xfrcnvlem  18570  pi1xfrcnv  18571  pi1cof  18573  pi1coghm  18575  cnmpt1ip  18690  cnmpt2ip  18691  txsconlem  23786  txscon  23787  cvmlift3lem6  23870  fcnre  27799  refsumcn  27804  refsum2cnlem1  27811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator