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Theorem cnfcf 17737
Description: Continuity of a function in terms of cluster points of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, J, x    f, K, x    f, X, x   
f, Y, x

Proof of Theorem cnfcf
StepHypRef Expression
1 cncnp 17009 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
2 cnpfcf 17736 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
323expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
43adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
5 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X
--> Y )
65biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
74, 6bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
87ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) )
9 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
109fclselbas 17711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  x  e.  U. J )
11 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
1312eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1410, 13syl5ibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  x  e.  X ) )
1514pm4.71rd 616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) ) ) )
1615imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
17 impexp 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
1816, 17syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
1918ralbidv2 2565 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fClusf  f ) `  F
)  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  ( J  fClus  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
2019ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
21 ralcom 2700 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
2220, 21syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fClus  f )
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
238, 22bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
2423pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
251, 24bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    CnP ccnp 16955   Filcfil 17540    fClus cfcls 17631    fClusf cfcf 17632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-fcls 17636  df-fcf 17637
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