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Theorem cnfcf 17753
Description: Continuity of a function in terms of cluster points of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, J, x    f, K, x    f, X, x   
f, Y, x

Proof of Theorem cnfcf
StepHypRef Expression
1 cncnp 17025 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
2 cnpfcf 17752 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
323expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
43adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
5 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X
--> Y )
65biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
74, 6bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
87ralbidva 2572 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) )
9 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
109fclselbas 17727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  x  e.  U. J )
11 toponuni 16681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
1312eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1410, 13syl5ibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  x  e.  X ) )
1514pm4.71rd 616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) ) ) )
1615imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
17 impexp 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
1816, 17syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
1918ralbidv2 2578 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fClusf  f ) `  F
)  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  ( J  fClus  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
2019ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
21 ralcom 2713 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
2220, 21syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fClus  f )
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
238, 22bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
2423pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
251, 24bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    CnP ccnp 16971   Filcfil 17556    fClus cfcls 17647    fClusf cfcf 17648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-fcls 17652  df-fcf 17653
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