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Theorem cnfcom 7419
 Description: Any ordinal is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. Here we show that bijection explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s CNF
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f CNF
cnfcom.g OrdIso
cnfcom.h seq𝜔
cnfcom.t seq𝜔
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.1
Assertion
Ref Expression
cnfcom
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,)   ()   (,,,)   (,,)

Proof of Theorem cnfcom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom.1 . 2
2 cnfcom.s . . . . . 6 CNF
3 omelon 7363 . . . . . . 7
43a1i 10 . . . . . 6
5 cnfcom.a . . . . . 6
6 cnfcom.g . . . . . 6 OrdIso
7 cnfcom.f . . . . . . 7 CNF
82, 4, 5cantnff1o 7414 . . . . . . . . 9 CNF
9 f1ocnv 5501 . . . . . . . . 9 CNF CNF
10 f1of 5488 . . . . . . . . 9 CNF CNF
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 CNF
12 cnfcom.b . . . . . . . 8
13 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8 CNF CNF
1411, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . 7 CNF
157, 14syl5eqel 2380 . . . . . 6
162, 4, 5, 6, 15cantnfcl 7384 . . . . 5
1716simprd 449 . . . 4
18 elnn 4682 . . . 4
191, 17, 18syl2anc 642 . . 3
20 eleq1 2356 . . . . . 6
21 suceq 4473 . . . . . . . . 9
2221fveq2d 5545 . . . . . . . 8
23 f1oeq1 5479 . . . . . . . 8
2422, 23syl 15 . . . . . . 7
2521fveq2d 5545 . . . . . . . 8
26 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8
2725, 26syl 15 . . . . . . 7
28 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
2928oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
3028fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
3129, 30oveq12d 5892 . . . . . . . 8
32 f1oeq3 5481 . . . . . . . 8
3331, 32syl 15 . . . . . . 7
3424, 27, 333bitrd 270 . . . . . 6
3520, 34imbi12d 311 . . . . 5
3635imbi2d 307 . . . 4
37 eleq1 2356 . . . . . 6
38 suceq 4473 . . . . . . . . 9
3938fveq2d 5545 . . . . . . . 8
40 f1oeq1 5479 . . . . . . . 8
4139, 40syl 15 . . . . . . 7
4238fveq2d 5545 . . . . . . . 8
43 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8
4442, 43syl 15 . . . . . . 7
45 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
4645oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
4745fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
4846, 47oveq12d 5892 . . . . . . . 8
49 f1oeq3 5481 . . . . . . . 8
5048, 49syl 15 . . . . . . 7
5141, 44, 503bitrd 270 . . . . . 6
5237, 51imbi12d 311 . . . . 5
53 eleq1 2356 . . . . . 6
54 suceq 4473 . . . . . . . . 9
5554fveq2d 5545 . . . . . . . 8
56 f1oeq1 5479 . . . . . . . 8
5755, 56syl 15 . . . . . . 7
5854fveq2d 5545 . . . . . . . 8
59 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8
6058, 59syl 15 . . . . . . 7
61 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
6261oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
6361fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
6462, 63oveq12d 5892 . . . . . . . 8
65 f1oeq3 5481 . . . . . . . 8
6664, 65syl 15 . . . . . . 7
6757, 60, 663bitrd 270 . . . . . 6
6853, 67imbi12d 311 . . . . 5
69 eleq1 2356 . . . . . 6
70 suceq 4473 . . . . . . . . 9
7170fveq2d 5545 . . . . . . . 8
72 f1oeq1 5479 . . . . . . . 8
7371, 72syl 15 . . . . . . 7
7470fveq2d 5545 . . . . . . . 8
75 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8
7674, 75syl 15 . . . . . . 7
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
7877oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
7977fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
8078, 79oveq12d 5892 . . . . . . . 8
81 f1oeq3 5481 . . . . . . . 8
8280, 81syl 15 . . . . . . 7
8373, 76, 823bitrd 270 . . . . . 6
8469, 83imbi12d 311 . . . . 5
855adantr 451 . . . . . . 7
8612adantr 451 . . . . . . 7
87 cnfcom.h . . . . . . 7 seq𝜔
88 cnfcom.t . . . . . . 7 seq𝜔
89 cnfcom.m . . . . . . 7
90 cnfcom.k . . . . . . 7
91 simpr 447 . . . . . . 7
923a1i 10 . . . . . . . 8
93 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . 11
942, 4, 5cantnfs 7383 . . . . . . . . . . . . . 14
9515, 94mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13
9695simpld 445 . . . . . . . . . . . 12
97 fdm 5409 . . . . . . . . . . . 12
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . 11
9993, 98syl5sseq 3239 . . . . . . . . . 10
100 onss 4598 . . . . . . . . . . 11
1015, 100syl 15 . . . . . . . . . 10
10299, 101sstrd 3202 . . . . . . . . 9
1036oif 7261 . . . . . . . . . 10
104103ffvelrni 5680 . . . . . . . . 9
105 ssel2 3188 . . . . . . . . 9
106102, 104, 105syl2an 463 . . . . . . . 8
107 peano1 4691 . . . . . . . . 9
108107a1i 10 . . . . . . . 8
109 oen0 6600 . . . . . . . 8
11092, 106, 108, 109syl21anc 1181 . . . . . . 7
111 0ex 4166 . . . . . . . . 9
11288seqom0g 6484 . . . . . . . . 9
113111, 112ax-mp 8 . . . . . . . 8
114 f1o0 5526 . . . . . . . . . 10
11587seqom0g 6484 . . . . . . . . . . 11
116 f1oeq2 5480 . . . . . . . . . . 11
117111, 115, 116mp2b 9 . . . . . . . . . 10
118114, 117mpbir 200 . . . . . . . . 9
119 f1oeq1 5479 . . . . . . . . 9
120118, 119mpbiri 224 . . . . . . . 8
121113, 120mp1i 11 . . . . . . 7
1222, 85, 86, 7, 6, 87, 88, 89, 90, 91, 110, 121cnfcomlem 7418 . . . . . 6
123122ex 423 . . . . 5
1246oicl 7260 . . . . . . . . . 10
125 ordtr 4422 . . . . . . . . . 10
126124, 125ax-mp 8 . . . . . . . . 9
127 trsuc 4492 . . . . . . . . 9
128126, 127mpan 651 . . . . . . . 8
129128imim1i 54 . . . . . . 7
1305ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
13112ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
132 simprl 732 . . . . . . . . . 10
133101ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
13499ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135103ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136135ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137134, 136sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15
138133, 137sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14
139 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . 14
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
141 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15
142141sucid 4487 . . . . . . . . . . . . . 14
143 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14499, 5, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14516simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1466oiiso 7268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147144, 145, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148147ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149128ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150 isorel 5839 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151148, 149, 132, 150syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15
152141sucex 4618 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153152epelc 4323 . . . . . . . . . . . . . . 15
154 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155154epelc 4323 . . . . . . . . . . . . . . 15
156151, 153, 1553bitr3g 278 . . . . . . . . . . . . . 14
157142, 156mpbii 202 . . . . . . . . . . . . 13
158 ordsucss 4625 . . . . . . . . . . . . 13
159140, 157, 158sylc 56 . . . . . . . . . . . 12
160103ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161149, 160syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162134, 161sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15
163133, 162sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14
164 suceloni 4620 . . . . . . . . . . . . . 14
165163, 164syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
1663a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
167107a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
168 oewordi 6605 . . . . . . . . . . . . 13
169165, 138, 166, 167, 168syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . 12
170159, 169mpd 14 . . . . . . . . . . 11
17196ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
172 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
173171, 162, 172syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
174 nnon 4678 . . . . . . . . . . . . . . 15
175173, 174syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
176 oecl 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15
177166, 163, 176syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
178 oen0 6600 . . . . . . . . . . . . . . 15
179166, 163, 167, 178syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . 14
180 omord2 6581 . . . . . . . . . . . . . 14
181175, 166, 177, 179, 180syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
182173, 181mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
183 oesuc 6542 . . . . . . . . . . . . 13
184166, 163, 183syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
185182, 184eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . 11
186170, 185sseldd 3194 . . . . . . . . . 10
187 simprr 733 . . . . . . . . . 10
1882, 130, 131, 7, 6, 87, 88, 89, 90, 132, 186, 187cnfcomlem 7418 . . . . . . . . 9
189188exp32 588 . . . . . . . 8
190189a2d 23 . . . . . . 7
191129, 190syl5 28 . . . . . 6
192191expcom 424 . . . . 5
19352, 68, 84, 123, 192finds2 4700 . . . 4
19436, 193vtoclga 2862 . . 3
19519, 194mpcom 32 . 2
1961, 195mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039   cmpt 4093   wtr 4129   cep 4319   wwe 4367   word 4407  con0 4408   csuc 4410  com 4672  ccnv 4704   cdm 4705  cima 4708  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271   wiso 5272  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  seq𝜔cseqom 6475  c1o 6488   coa 6492   comu 6493   coe 6494  cfn 6879  OrdIsocoi 7240   CNF ccnf 7378 This theorem is referenced by:  cnfcom2  7421 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379
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