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Theorem cnfcom 7649
Description: Any ordinal  B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. Here we show that bijection explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.1  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
Assertion
Ref Expression
cnfcom  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    k, I, x, z    x, M    f,
k, x, z, F   
z, T    f, G, k, x, z    f, H, x    S, k, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z, f, k)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    I( f)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom.1 . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
2 cnfcom.s . . . . . 6  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
3 omelon 7593 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
5 cnfcom.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
6 cnfcom.g . . . . . 6  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
7 cnfcom.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
82, 4, 5cantnff1o 7644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5666 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcom.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1311, 12ffvelrnd 5863 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
147, 13syl5eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
152, 4, 5, 6, 14cantnfcl 7614 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
1615simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
17 elnn 4847 . . . 4  |-  ( ( I  e.  dom  G  /\  dom  G  e.  om )  ->  I  e.  om )
181, 16, 17syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  om )
19 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( w  =  I  ->  (
w  e.  dom  G  <->  I  e.  dom  G ) )
20 suceq 4638 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  I  ->  suc  w  =  suc  I )
2120fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( w  =  I  ->  ( T `  suc  w )  =  ( T `  suc  I ) )
2220fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( w  =  I  ->  ( H `  suc  w )  =  ( H `  suc  I ) )
23 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  I  ->  ( G `  w )  =  ( G `  I ) )
2423oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  I  ->  ( om  ^o  ( G `  w ) )  =  ( om  ^o  ( G `  I )
) )
2523fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  I  ->  ( F `  ( G `  w ) )  =  ( F `  ( G `  I )
) )
2624, 25oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( w  =  I  ->  (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )
2721, 22, 26f1oeq123d 5663 . . . . . 6  |-  ( w  =  I  ->  (
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
2819, 27imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  I  ->  (
( w  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( I  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  I ) : ( H `  suc  I ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) ) )
2928imbi2d 308 . . . 4  |-  ( w  =  I  ->  (
( ph  ->  ( w  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( I  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) ) ) )
30 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  dom  G  <->  (/)  e.  dom  G ) )
31 suceq 4638 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  suc  w  =  suc  (/) )
3231fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( T `
 suc  w )  =  ( T `  suc  (/) ) )
3331fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( H `
 suc  w )  =  ( H `  suc  (/) ) )
34 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G `
 w )  =  ( G `  (/) ) )
3534oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( om 
^o  ( G `  w ) )  =  ( om  ^o  ( G `  (/) ) ) )
3634fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F `
 ( G `  w ) )  =  ( F `  ( G `  (/) ) ) )
3735, 36oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( om  ^o  ( G `
 w ) )  .o  ( F `  ( G `  w ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
3832, 33, 37f1oeq123d 5663 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( T `  suc  w
) : ( H `
 suc  w ) -1-1-onto-> (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  (/) ) : ( H `
 suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) )
3930, 38imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) ) )
40 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  dom  G  <->  y  e.  dom  G ) )
41 suceq 4638 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  suc  w  =  suc  y )
4241fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( T `  suc  w )  =  ( T `  suc  y ) )
4341fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( H `  suc  w )  =  ( H `  suc  y ) )
44 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( G `  w )  =  ( G `  y ) )
4544oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( om  ^o  ( G `  w ) )  =  ( om  ^o  ( G `  y )
) )
4644fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( F `  ( G `  w ) )  =  ( F `  ( G `  y )
) )
4745, 46oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) ) )
4842, 43, 47f1oeq123d 5663 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )
4940, 48imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( y  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  y ) : ( H `  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) ) )
50 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( w  e.  dom  G  <->  suc  y  e.  dom  G ) )
51 suceq 4638 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  y  ->  suc  w  =  suc  suc  y )
5251fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( T `  suc  w )  =  ( T `  suc  suc  y ) )
5351fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( H `  suc  w )  =  ( H `  suc  suc  y ) )
54 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( G `  w
)  =  ( G `
 suc  y )
)
5554oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( om  ^o  ( G `  w )
)  =  ( om 
^o  ( G `  suc  y ) ) )
5654fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( F `  ( G `  w )
)  =  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )
5755, 56oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) )
5852, 53, 57f1oeq123d 5663 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
5950, 58imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( w  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  w ) : ( H `  suc  w ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  suc  y
) : ( H `
 suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) ) ) ) )
605adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  A  e.  On )
6112adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  B  e.  ( om  ^o  A ) )
62 cnfcom.h . . . . . . 7  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
63 cnfcom.t . . . . . . 7  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
64 cnfcom.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
65 cnfcom.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
66 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  dom  G )
673a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  om  e.  On )
68 cnvimass 5216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
692, 4, 5cantnfs 7613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
7014, 69mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
7170simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
72 fdm 5587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
7468, 73syl5sseq 3388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
75 onss 4763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
765, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
7774, 76sstrd 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On )
786oif 7491 . . . . . . . . . 10  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
7978ffvelrni 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( G `  (/) )  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
80 ssel2 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On  /\  ( G `  (/) )  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( G `  (/) )  e.  On )
8177, 79, 80syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( G `  (/) )  e.  On )
82 peano1 4856 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
8382a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  om )
84 oen0 6821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  ( G `  (/) )  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  ->  (/)  e.  ( om 
^o  ( G `  (/) ) ) )
8567, 81, 83, 84syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  ( om  ^o  ( G `
 (/) ) ) )
86 0ex 4331 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
8763seqom0g 6705 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( T `  (/) )  =  (/) )
8886, 87ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( T `
 (/) )  =  (/)
89 f1o0 5704 . . . . . . . . . 10  |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
9062seqom0g 6705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( H `  (/) )  =  (/) )
91 f1oeq2 5658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H `  (/) )  =  (/)  ->  ( (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
9286, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : (/) -1-1-onto-> (/) )
9389, 92mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)
94 f1oeq1 5657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  (/) )  =  (/)  ->  ( ( T `
 (/) ) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/) ) )
9593, 94mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  (/) )  =  (/)  ->  ( T `  (/) ) : ( H `
 (/) ) -1-1-onto-> (/) )
9688, 95mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( T `  (/) ) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/) )
972, 60, 61, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 85, 96cnfcomlem 7648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
9897ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) )
996oicl 7490 . . . . . . . . . 10  |-  Ord  dom  G
100 ordtr 4587 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
dom  G  ->  Tr  dom  G )
10199, 100ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  Tr  dom  G
102 trsuc 4658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  dom  G  /\  suc  y  e.  dom  G )  ->  y  e.  dom  G )
103101, 102mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( suc  y  e.  dom  G  ->  y  e.  dom  G
)
104103imim1i 56 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )
1055ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  A  e.  On )
10612ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  B  e.  ( om  ^o  A
) )
107 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  suc  y  e.  dom  G )
10876ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  A  C_  On )
10974ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  A )
11078ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( G `  suc  y )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
111110ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  suc  y )  e.  ( `' F " ( _V  \  1o ) ) )
112109, 111sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  suc  y )  e.  A )
113108, 112sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  suc  y )  e.  On )
114 eloni 4583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  suc  y
)  e.  On  ->  Ord  ( G `  suc  y ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  Ord  ( G `  suc  y
) )
116 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
117116sucid 4652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
suc  y
1185, 74ssexd 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
11915simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
1206oiiso 7498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
121118, 119, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
122121ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
123103ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  y  e.  dom  G )
124 isorel 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( y  e.  dom  G  /\  suc  y  e.  dom  G ) )  ->  (
y  _E  suc  y  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y ) ) )
125122, 123, 107, 124syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
y  _E  suc  y  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y ) ) )
126116sucex 4783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  y  e.  _V
127126epelc 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  _E  suc  y  <->  y  e.  suc  y )
128 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G `
 suc  y )  e.  _V
129128epelc 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y )  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y
) )
130125, 127, 1293bitr3g 279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
y  e.  suc  y  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y ) ) )
131117, 130mpbii 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y ) )
132 ordsucss 4790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  ( G `  suc  y )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( G `
 suc  y )  ->  suc  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) ) )
133115, 131, 132sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  suc  ( G `  y ) 
C_  ( G `  suc  y ) )
13478ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  dom  G  -> 
( G `  y
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
135123, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
136109, 135sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  A )
137108, 136sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  On )
138 suceloni 4785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  y )  e.  On  ->  suc  ( G `  y )  e.  On )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  suc  ( G `  y )  e.  On )
1403a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  om  e.  On )
14182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (/)  e.  om )
142 oewordi 6826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( suc  ( G `
 y )  e.  On  /\  ( G `
 suc  y )  e.  On  /\  om  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  ->  ( suc  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y )  ->  ( om  ^o  suc  ( G `
 y ) ) 
C_  ( om  ^o  ( G `  suc  y
) ) ) )
143139, 113, 140, 141, 142syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( suc  ( G `  y
)  C_  ( G `  suc  y )  -> 
( om  ^o  suc  ( G `  y ) )  C_  ( om  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) )
144133, 143mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( om  ^o  suc  ( G `
 y ) ) 
C_  ( om  ^o  ( G `  suc  y
) ) )
14571ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  F : A --> om )
146145, 136ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e. 
om )
147 nnon 4843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  ( G `
 y ) )  e.  om  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  On )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  On )
149 oecl 6773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  On )  -> 
( om  ^o  ( G `  y )
)  e.  On )
150140, 137, 149syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( om  ^o  ( G `  y ) )  e.  On )
151 oen0 6821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  ( G `  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  ( G `  y
) ) )
152140, 137, 141, 151syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (/)  e.  ( om  ^o  ( G `
 y ) ) )
153 omord2 6802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  y ) )  e.  On  /\  om  e.  On  /\  ( om  ^o  ( G `  y ) )  e.  On )  /\  (/)  e.  ( om  ^o  ( G `
 y ) ) )  ->  ( ( F `  ( G `  y ) )  e. 
om 
<->  ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o 
om ) ) )
154148, 140, 150, 152, 153syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( F `  ( G `  y )
)  e.  om  <->  ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  e.  ( ( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  om )
) )
155146, 154mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o 
om ) )
156 oesuc 6763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  On )  -> 
( om  ^o  suc  ( G `  y ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `
 y ) )  .o  om ) )
157140, 137, 156syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( om  ^o  suc  ( G `
 y ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o 
om ) )
158155, 157eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( om  ^o  suc  ( G `  y
) ) )
159144, 158sseldd 3341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( om  ^o  ( G `  suc  y
) ) )
160 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )
1612, 105, 106, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 107, 159, 160cnfcomlem 7648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( T `  suc  suc  y
) : ( H `
 suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) ) )
162161exp32 589 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  ->  ( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) ) )
163162a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
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( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
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ph  /\  y  e.  om )  ->  ( (
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( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
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)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   Tr wtr 4294    _E cep 4484    We wwe 4532   Ord word 4572   Oncon0 4573   suc csuc 4575   omcom 4837   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446    Isom wiso 5447  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075  seq𝜔cseqom 6696   1oc1o 6709    +o coa 6713    .o comu 6714    ^o coe 6715   Fincfn 7101  OrdIsocoi 7470   CNF ccnf 7608
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