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Theorem cnfcom 7649
 Description: Any ordinal is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. Here we show that bijection explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s CNF
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f CNF
cnfcom.g OrdIso
cnfcom.h seq𝜔
cnfcom.t seq𝜔
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.1
Assertion
Ref Expression
cnfcom
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,)   ()   (,,,)   (,,)

Proof of Theorem cnfcom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom.1 . 2
2 cnfcom.s . . . . . 6 CNF
3 omelon 7593 . . . . . . 7
43a1i 11 . . . . . 6
5 cnfcom.a . . . . . 6
6 cnfcom.g . . . . . 6 OrdIso
7 cnfcom.f . . . . . . 7 CNF
82, 4, 5cantnff1o 7644 . . . . . . . . 9 CNF
9 f1ocnv 5679 . . . . . . . . 9 CNF CNF
10 f1of 5666 . . . . . . . . 9 CNF CNF
118, 9, 103syl 19 . . . . . . . 8 CNF
12 cnfcom.b . . . . . . . 8
1311, 12ffvelrnd 5863 . . . . . . 7 CNF
147, 13syl5eqel 2519 . . . . . 6
152, 4, 5, 6, 14cantnfcl 7614 . . . . 5
1615simprd 450 . . . 4
17 elnn 4847 . . . 4
181, 16, 17syl2anc 643 . . 3
19 eleq1 2495 . . . . . 6
20 suceq 4638 . . . . . . . 8
2120fveq2d 5724 . . . . . . 7
2220fveq2d 5724 . . . . . . 7
23 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
2423oveq2d 6089 . . . . . . . 8
2523fveq2d 5724 . . . . . . . 8
2624, 25oveq12d 6091 . . . . . . 7
2721, 22, 26f1oeq123d 5663 . . . . . 6
2819, 27imbi12d 312 . . . . 5
2928imbi2d 308 . . . 4
30 eleq1 2495 . . . . . 6
31 suceq 4638 . . . . . . . 8
3231fveq2d 5724 . . . . . . 7
3331fveq2d 5724 . . . . . . 7
34 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
3534oveq2d 6089 . . . . . . . 8
3634fveq2d 5724 . . . . . . . 8
3735, 36oveq12d 6091 . . . . . . 7
3832, 33, 37f1oeq123d 5663 . . . . . 6
3930, 38imbi12d 312 . . . . 5
40 eleq1 2495 . . . . . 6
41 suceq 4638 . . . . . . . 8
4241fveq2d 5724 . . . . . . 7
4341fveq2d 5724 . . . . . . 7
44 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
4544oveq2d 6089 . . . . . . . 8
4644fveq2d 5724 . . . . . . . 8
4745, 46oveq12d 6091 . . . . . . 7
4842, 43, 47f1oeq123d 5663 . . . . . 6
4940, 48imbi12d 312 . . . . 5
50 eleq1 2495 . . . . . 6
51 suceq 4638 . . . . . . . 8
5251fveq2d 5724 . . . . . . 7
5351fveq2d 5724 . . . . . . 7
54 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
5554oveq2d 6089 . . . . . . . 8
5654fveq2d 5724 . . . . . . . 8
5755, 56oveq12d 6091 . . . . . . 7
5852, 53, 57f1oeq123d 5663 . . . . . 6
5950, 58imbi12d 312 . . . . 5
605adantr 452 . . . . . . 7
6112adantr 452 . . . . . . 7
62 cnfcom.h . . . . . . 7 seq𝜔
63 cnfcom.t . . . . . . 7 seq𝜔
64 cnfcom.m . . . . . . 7
65 cnfcom.k . . . . . . 7
66 simpr 448 . . . . . . 7
673a1i 11 . . . . . . . 8
68 cnvimass 5216 . . . . . . . . . . 11
692, 4, 5cantnfs 7613 . . . . . . . . . . . . . 14
7014, 69mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13
7170simpld 446 . . . . . . . . . . . 12
72 fdm 5587 . . . . . . . . . . . 12
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11
7468, 73syl5sseq 3388 . . . . . . . . . 10
75 onss 4763 . . . . . . . . . . 11
765, 75syl 16 . . . . . . . . . 10
7774, 76sstrd 3350 . . . . . . . . 9
786oif 7491 . . . . . . . . . 10
7978ffvelrni 5861 . . . . . . . . 9
80 ssel2 3335 . . . . . . . . 9
8177, 79, 80syl2an 464 . . . . . . . 8
82 peano1 4856 . . . . . . . . 9
8382a1i 11 . . . . . . . 8
84 oen0 6821 . . . . . . . 8
8567, 81, 83, 84syl21anc 1183 . . . . . . 7
86 0ex 4331 . . . . . . . . 9
8763seqom0g 6705 . . . . . . . . 9
8886, 87ax-mp 8 . . . . . . . 8
89 f1o0 5704 . . . . . . . . . 10
9062seqom0g 6705 . . . . . . . . . . 11
91 f1oeq2 5658 . . . . . . . . . . 11
9286, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . 10
9389, 92mpbir 201 . . . . . . . . 9
94 f1oeq1 5657 . . . . . . . . 9
9593, 94mpbiri 225 . . . . . . . 8
9688, 95mp1i 12 . . . . . . 7
972, 60, 61, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 85, 96cnfcomlem 7648 . . . . . 6
9897ex 424 . . . . 5
996oicl 7490 . . . . . . . . . 10
100 ordtr 4587 . . . . . . . . . 10
10199, 100ax-mp 8 . . . . . . . . 9
102 trsuc 4658 . . . . . . . . 9
103101, 102mpan 652 . . . . . . . 8
104103imim1i 56 . . . . . . 7
1055ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
10612ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
107 simprl 733 . . . . . . . . . 10
10876ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
10974ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11078ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111110ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112109, 111sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15
113108, 112sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . 14
114 eloni 4583 . . . . . . . . . . . . . 14
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
116 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15
117116sucid 4652 . . . . . . . . . . . . . 14
1185, 74ssexd 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11915simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1206oiiso 7498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121118, 119, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122121ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123103ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 isorel 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125122, 123, 107, 124syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
126116sucex 4783 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126epelc 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15
128 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129128epelc 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15
130125, 127, 1293bitr3g 279 . . . . . . . . . . . . . 14
131117, 130mpbii 203 . . . . . . . . . . . . 13
132 ordsucss 4790 . . . . . . . . . . . . 13
133115, 131, 132sylc 58 . . . . . . . . . . . 12
13478ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135123, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136109, 135sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15
137108, 136sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . 14
138 suceloni 4785 . . . . . . . . . . . . . 14
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
1403a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
14182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
142 oewordi 6826 . . . . . . . . . . . . 13
143139, 113, 140, 141, 142syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . 12
144133, 143mpd 15 . . . . . . . . . . 11
14571ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
146145, 136ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . 13
147 nnon 4843 . . . . . . . . . . . . . . 15
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
149 oecl 6773 . . . . . . . . . . . . . . 15
150140, 137, 149syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
151 oen0 6821 . . . . . . . . . . . . . . 15
152140, 137, 141, 151syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14
153 omord2 6802 . . . . . . . . . . . . . 14
154148, 140, 150, 152, 153syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13
155146, 154mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
156 oesuc 6763 . . . . . . . . . . . . 13
157140, 137, 156syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
158155, 157eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . 11
159144, 158sseldd 3341 . . . . . . . . . 10
160 simprr 734 . . . . . . . . . 10
1612, 105, 106, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 107, 159, 160cnfcomlem 7648 . . . . . . . . 9
162161exp32 589 . . . . . . . 8
163162a2d 24 . . . . . . 7
164104, 163syl5 30 . . . . . 6
165164expcom 425 . . . . 5
16639, 49, 59, 98, 165finds2 4865 . . . 4
16729, 166vtoclga 3009 . . 3
16818, 167mpcom 34 . 2
1691, 168mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204   cmpt 4258   wtr 4294   cep 4484   wwe 4532   word 4572  con0 4573   csuc 4575  com 4837  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446   wiso 5447  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  seq𝜔cseqom 6696  c1o 6709   coa 6713   comu 6714   coe 6715  cfn 7101  OrdIsocoi 7470   CNF ccnf 7608 This theorem is referenced by:  cnfcom2  7651 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-seqom 6697  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-oexp 6722  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-cnf 7609
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