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Theorem cnfcom 7419
Description: Any ordinal  B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. Here we show that bijection explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.1  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
Assertion
Ref Expression
cnfcom  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    k, I, x, z    x, M    f,
k, x, z, F   
z, T    f, G, k, x, z    f, H, x    S, k, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z, f, k)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    I( f)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom.1 . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
2 cnfcom.s . . . . . 6  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
3 omelon 7363 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
43a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
5 cnfcom.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
6 cnfcom.g . . . . . 6  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
7 cnfcom.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
82, 4, 5cantnff1o 7414 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5488 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcom.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
13 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  S
)
1411, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
157, 14syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
162, 4, 5, 6, 15cantnfcl 7384 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
1716simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
18 elnn 4682 . . . 4  |-  ( ( I  e.  dom  G  /\  dom  G  e.  om )  ->  I  e.  om )
191, 17, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  om )
20 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( w  =  I  ->  (
w  e.  dom  G  <->  I  e.  dom  G ) )
21 suceq 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  I  ->  suc  w  =  suc  I )
2221fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  I  ->  ( T `  suc  w )  =  ( T `  suc  I ) )
23 f1oeq1 5479 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  suc  w
)  =  ( T `
 suc  I )  ->  ( ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
2422, 23syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  I  ->  (
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
2521fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  I  ->  ( H `  suc  w )  =  ( H `  suc  I ) )
26 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  suc  w
)  =  ( H `
 suc  I )  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
2725, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  I  ->  (
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
28 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  I  ->  ( G `  w )  =  ( G `  I ) )
2928oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  I  ->  ( om  ^o  ( G `  w ) )  =  ( om  ^o  ( G `  I )
) )
3028fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  I  ->  ( F `  ( G `  w ) )  =  ( F `  ( G `  I )
) )
3129, 30oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  I  ->  (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )
32 f1oeq3 5481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  ->  (
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
3331, 32syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  I  ->  (
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
3424, 27, 333bitrd 270 . . . . . 6  |-  ( w  =  I  ->  (
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
3520, 34imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  I  ->  (
( w  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( I  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  I ) : ( H `  suc  I ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) ) )
3635imbi2d 307 . . . 4  |-  ( w  =  I  ->  (
( ph  ->  ( w  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( I  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) ) ) )
37 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  dom  G  <->  (/)  e.  dom  G ) )
38 suceq 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  suc  w  =  suc  (/) )
3938fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( T `
 suc  w )  =  ( T `  suc  (/) ) )
40 f1oeq1 5479 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  suc  w
)  =  ( T `
 suc  (/) )  -> 
( ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  (/) ) : ( H `
 suc  w ) -1-1-onto-> (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
4139, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( T `  suc  w
) : ( H `
 suc  w ) -1-1-onto-> (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  (/) ) : ( H `
 suc  w ) -1-1-onto-> (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
4238fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( H `
 suc  w )  =  ( H `  suc  (/) ) )
43 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  suc  w
)  =  ( H `
 suc  (/) )  -> 
( ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  (/) ) : ( H `
 suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 w ) )  .o  ( F `  ( G `  w ) ) ) ) )
4442, 43syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  w ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  (/) ) : ( H `
 suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 w ) )  .o  ( F `  ( G `  w ) ) ) ) )
45 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G `
 w )  =  ( G `  (/) ) )
4645oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( om 
^o  ( G `  w ) )  =  ( om  ^o  ( G `  (/) ) ) )
4745fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F `
 ( G `  w ) )  =  ( F `  ( G `  (/) ) ) )
4846, 47oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( om  ^o  ( G `
 w ) )  .o  ( F `  ( G `  w ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
49 f1oeq3 5481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) )  ->  ( ( T `
 suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  (/) ) : ( H `
 suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) )
5048, 49syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  (/) ) : ( H `
 suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) )
5141, 44, 503bitrd 270 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( T `  suc  w
) : ( H `
 suc  w ) -1-1-onto-> (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  (/) ) : ( H `
 suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) )
5237, 51imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) ) )
53 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  dom  G  <->  y  e.  dom  G ) )
54 suceq 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  suc  w  =  suc  y )
5554fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( T `  suc  w )  =  ( T `  suc  y ) )
56 f1oeq1 5479 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  suc  w
)  =  ( T `
 suc  y )  ->  ( ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
5755, 56syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
5854fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( H `  suc  w )  =  ( H `  suc  y ) )
59 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  suc  w
)  =  ( H `
 suc  y )  ->  ( ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
6058, 59syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
61 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( G `  w )  =  ( G `  y ) )
6261oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( om  ^o  ( G `  w ) )  =  ( om  ^o  ( G `  y )
) )
6361fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( F `  ( G `  w ) )  =  ( F `  ( G `  y )
) )
6462, 63oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) ) )
65 f1oeq3 5481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  ->  (
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )
6757, 60, 663bitrd 270 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )
6853, 67imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( y  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  y ) : ( H `  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) ) )
69 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( w  e.  dom  G  <->  suc  y  e.  dom  G ) )
70 suceq 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  suc  y  ->  suc  w  =  suc  suc  y )
7170fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( T `  suc  w )  =  ( T `  suc  suc  y ) )
72 f1oeq1 5479 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  suc  w
)  =  ( T `
 suc  suc  y )  ->  ( ( T `
 suc  w ) : ( H `  suc  w ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
7371, 72syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
7470fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( H `  suc  w )  =  ( H `  suc  suc  y ) )
75 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  suc  w
)  =  ( H `
 suc  suc  y )  ->  ( ( T `
 suc  suc  y ) : ( H `  suc  w ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
7674, 75syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  w ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( G `  w
)  =  ( G `
 suc  y )
)
7877oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( om  ^o  ( G `  w )
)  =  ( om 
^o  ( G `  suc  y ) ) )
7977fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( F `  ( G `  w )
)  =  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )
8078, 79oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) )
81 f1oeq3 5481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) )  ->  (
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
8280, 81syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
8373, 76, 823bitrd 270 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
8469, 83imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( w  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  w ) : ( H `  suc  w ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  suc  y
) : ( H `
 suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) ) ) ) )
855adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  A  e.  On )
8612adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  B  e.  ( om  ^o  A ) )
87 cnfcom.h . . . . . . 7  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
88 cnfcom.t . . . . . . 7  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
89 cnfcom.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
90 cnfcom.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
91 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  dom  G )
923a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  om  e.  On )
93 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
942, 4, 5cantnfs 7383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
9515, 94mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
9695simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
97 fdm 5409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
9993, 98syl5sseq 3239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
100 onss 4598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
1015, 100syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
10299, 101sstrd 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On )
1036oif 7261 . . . . . . . . . 10  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
104103ffvelrni 5680 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( G `  (/) )  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
105 ssel2 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On  /\  ( G `  (/) )  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( G `  (/) )  e.  On )
106102, 104, 105syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( G `  (/) )  e.  On )
107 peano1 4691 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
108107a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  om )
109 oen0 6600 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  ( G `  (/) )  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  ->  (/)  e.  ( om 
^o  ( G `  (/) ) ) )
11092, 106, 108, 109syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  ( om  ^o  ( G `
 (/) ) ) )
111 0ex 4166 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
11288seqom0g 6484 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( T `  (/) )  =  (/) )
113111, 112ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( T `
 (/) )  =  (/)
114 f1o0 5526 . . . . . . . . . 10  |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
11587seqom0g 6484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( H `  (/) )  =  (/) )
116 f1oeq2 5480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H `  (/) )  =  (/)  ->  ( (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
117111, 115, 116mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : (/) -1-1-onto-> (/) )
118114, 117mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)
119 f1oeq1 5479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  (/) )  =  (/)  ->  ( ( T `
 (/) ) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/) ) )
120118, 119mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  (/) )  =  (/)  ->  ( T `  (/) ) : ( H `
 (/) ) -1-1-onto-> (/) )
121113, 120mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( T `  (/) ) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/) )
1222, 85, 86, 7, 6, 87, 88, 89, 90, 91, 110, 121cnfcomlem 7418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
123122ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) )
1246oicl 7260 . . . . . . . . . 10  |-  Ord  dom  G
125 ordtr 4422 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
dom  G  ->  Tr  dom  G )
126124, 125ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  Tr  dom  G
127 trsuc 4492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  dom  G  /\  suc  y  e.  dom  G )  ->  y  e.  dom  G )
128126, 127mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( suc  y  e.  dom  G  ->  y  e.  dom  G
)
129128imim1i 54 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )
1305ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  A  e.  On )
13112ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  B  e.  ( om  ^o  A
) )
132 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  suc  y  e.  dom  G )
133101ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  A  C_  On )
13499ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  A )
135103ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( G `  suc  y )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
136135ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  suc  y )  e.  ( `' F " ( _V  \  1o ) ) )
137134, 136sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  suc  y )  e.  A )
138133, 137sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  suc  y )  e.  On )
139 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  suc  y
)  e.  On  ->  Ord  ( G `  suc  y ) )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  Ord  ( G `  suc  y
) )
141 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
142141sucid 4487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
suc  y
143 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  _V )
14499, 5, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
14516simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
1466oiiso 7268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
147144, 145, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
148147ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
149128ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  y  e.  dom  G )
150 isorel 5839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( y  e.  dom  G  /\  suc  y  e.  dom  G ) )  ->  (
y  _E  suc  y  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y ) ) )
151148, 149, 132, 150syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
y  _E  suc  y  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y ) ) )
152141sucex 4618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  y  e.  _V
153152epelc 4323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  _E  suc  y  <->  y  e.  suc  y )
154 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G `
 suc  y )  e.  _V
155154epelc 4323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y )  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y
) )
156151, 153, 1553bitr3g 278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
y  e.  suc  y  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y ) ) )
157142, 156mpbii 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y ) )
158 ordsucss 4625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  ( G `  suc  y )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( G `
 suc  y )  ->  suc  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) ) )
159140, 157, 158sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  suc  ( G `  y ) 
C_  ( G `  suc  y ) )
160103ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  dom  G  -> 
( G `  y
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
161149, 160syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
162134, 161sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  A )
163133, 162sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  On )
164 suceloni 4620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  y )  e.  On  ->  suc  ( G `  y )  e.  On )
165163, 164syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  suc  ( G `  y )  e.  On )
1663a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  om  e.  On )
167107a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (/)  e.  om )
168 oewordi 6605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( suc  ( G `
 y )  e.  On  /\  ( G `
 suc  y )  e.  On  /\  om  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  ->  ( suc  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y )  ->  ( om  ^o  suc  ( G `
 y ) ) 
C_  ( om  ^o  ( G `  suc  y
) ) ) )
169165, 138, 166, 167, 168syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( suc  ( G `  y
)  C_  ( G `  suc  y )  -> 
( om  ^o  suc  ( G `  y ) )  C_  ( om  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) )
170159, 169mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( om  ^o  suc  ( G `
 y ) ) 
C_  ( om  ^o  ( G `  suc  y
) ) )
17196ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  F : A --> om )
172 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> om  /\  ( G `  y )  e.  A )  -> 
( F `  ( G `  y )
)  e.  om )
173171, 162, 172syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e. 
om )
174 nnon 4678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  ( G `
 y ) )  e.  om  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  On )
175173, 174syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  On )
176 oecl 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  On )  -> 
( om  ^o  ( G `  y )
)  e.  On )
177166, 163, 176syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( om  ^o  ( G `  y ) )  e.  On )
178 oen0 6600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  ( G `  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  ( G `  y
) ) )
179166, 163, 167, 178syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (/)  e.  ( om  ^o  ( G `
 y ) ) )
180 omord2 6581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  y ) )  e.  On  /\  om  e.  On  /\  ( om  ^o  ( G `  y ) )  e.  On )  /\  (/)  e.  ( om  ^o  ( G `
 y ) ) )  ->  ( ( F `  ( G `  y ) )  e. 
om 
<->  ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o 
om ) ) )
181175, 166, 177, 179, 180syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( F `  ( G `  y )
)  e.  om  <->  ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  e.  ( ( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  om )
) )
182173, 181mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o 
om ) )
183 oesuc 6542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  On )  -> 
( om  ^o  suc  ( G `  y ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `
 y ) )  .o  om ) )
184166, 163, 183syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( om  ^o  suc  ( G `
 y ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o 
om ) )
185182, 184eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( om  ^o  suc  ( G `  y
) ) )
186170, 185sseldd 3194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( om  ^o  ( G `  suc  y
) ) )
187 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )
1882, 130, 131, 7, 6, 87, 88, 89, 90, 132, 186, 187cnfcomlem 7418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( T `  suc  suc  y
) : ( H `
 suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) ) )
189188exp32 588 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  ->  ( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) ) )
190189a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) ) )
191129, 190syl5 28 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( (
y  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) ) )
192191expcom 424 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) ) ) )
19352, 68, 84, 123, 192finds2 4700 . . . 4  |-  ( w  e.  om  ->  ( ph  ->  ( w  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  w ) : ( H `  suc  w ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) ) )
19436, 193vtoclga 2862 . . 3  |-  ( I  e.  om  ->  ( ph  ->  ( I  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  I ) : ( H `  suc  I ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) ) )
19519, 194mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
1961, 195mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Tr wtr 4129    _E cep 4319    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    Isom wiso 5272  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876  seq𝜔cseqom 6475   1oc1o 6488    +o coa 6492    .o comu 6493    ^o coe 6494   Fincfn 6879  OrdIsocoi 7240   CNF ccnf 7378
This theorem is referenced by:  cnfcom2  7421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379
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