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Theorem cnfcom2 7662
Description: Any nonzero ordinal  B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom2.1  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom2  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom2
StepHypRef Expression
1 cnfcom.s . . . . 5  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
2 cnfcom.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnfcom.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
4 cnfcom.f . . . . 5  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.g . . . . 5  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
6 cnfcom.h . . . . 5  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
7 cnfcom.t . . . . 5  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
8 cnfcom.m . . . . 5  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
9 cnfcom.k . . . . 5  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
10 fvex 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
114, 10eqeltri 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  F  e. 
_V
1211cnvex 5409 . . . . . . . . . 10  |-  `' F  e.  _V
13 imaexg 5220 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
145oion 7508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  On
1615elexi 2967 . . . . . . . 8  |-  dom  G  e.  _V
1716uniex 4708 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  _V
1817sucid 4663 . . . . . 6  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
19 cnfcom.w . . . . . . 7  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
20 cnfcom2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 20cnfcom2lem 7661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
2218, 21syl5eleqr 2525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22cnfcom 7660 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) )
2419oveq2i 6095 . . . . . 6  |-  ( om 
^o  W )  =  ( om  ^o  ( G `  U. dom  G
) )
2519fveq2i 5734 . . . . . 6  |-  ( F `
 W )  =  ( F `  ( G `  U. dom  G
) )
2624, 25oveq12i 6096 . . . . 5  |-  ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  U. dom  G ) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) )
27 f1oeq3 5670 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  U. dom  G ) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) )  -> 
( ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) )
2923, 28sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
3021fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G )  =  ( T `
 suc  U. dom  G
) )
31 f1oeq1 5668 . . . 4  |-  ( ( T `  dom  G
)  =  ( T `
 suc  U. dom  G
)  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) ) )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) ) )
3329, 32mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : ( H `
 suc  U. dom  G
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
) )
344fveq2i 5734 . . . . 5  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
35 omelon 7604 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
371, 36, 2cantnff1o 7655 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
38 f1ocnv 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
39 f1of 5677 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
4037, 38, 393syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
4140, 3ffvelrnd 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
424, 41syl5eqel 2522 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
438oveq1i 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +o  z )  =  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
)
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( M  +o  z
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )
4544mpt2eq3ia 6142 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z ) )  =  ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )
46 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (/)
47 seqomeq12 6714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) )  =  ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  /\  (/)  =  (/) )  -> seq𝜔 (
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) )
4845, 46, 47mp2an 655 . . . . . . 7  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( M  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
496, 48eqtri 2458 . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
501, 36, 2, 5, 42, 49cantnfval 7626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
5134, 50syl5reqr 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
) )
5221fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  ( H `
 suc  U. dom  G
) )
53 f1ocnvfv2 6018 . . . . 5  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
5437, 3, 53syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5551, 52, 543eqtr3d 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  U.
dom  G )  =  B )
56 f1oeq2 5669 . . 3  |-  ( ( H `  suc  U. dom  G )  =  B  ->  ( ( T `
 dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) ) )
5755, 56syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> (
( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) ) )
5833, 57mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320   (/)c0 3630   U.cuni 4017    e. cmpt 4269    _E cep 4495   Oncon0 4584   suc csuc 4586   omcom 4848   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   "cima 4884   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086  seq𝜔cseqom 6707   1oc1o 6720    +o coa 6724    .o comu 6725    ^o coe 6726  OrdIsocoi 7481   CNF ccnf 7619
This theorem is referenced by:  cnfcom3  7664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seqom 6708  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-oexp 6733  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-cnf 7620
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