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Theorem cnfcom3 7407
Description: Any infinite ordinal  B is equinumerous to a power of  om. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 7409.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
cnfcom.x  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
cnfcom.y  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
cnfcom.n  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3  |-  ( ph  ->  N : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    u, k,
v, x, z    x, M    ph, u, v    f,
k, u, v, x, z, F    u, K, v    u, T, v, z   
u, W, v, x   
f, G, k, u, v, x, z    f, H, u, v, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( v, u, f)    B( x, z, v, u, f, k)    S( x, v, u, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, v, u, f, k)    N( x, z, v, u, f, k)    W( z, f, k)    X( x, z, v, u, f, k)    Y( x, z, v, u, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 7347 . . . . . 6  |-  om  e.  On
2 cnfcom.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5033 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
61a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
75, 6, 2cantnff1o 7398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
8 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
9 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
12 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  S
)
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
144, 13syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
155, 6, 2cantnfs 7367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1614, 15mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1716simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
18 fdm 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
203, 19syl5sseq 3226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
21 cnfcom.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
22 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
234, 22eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  e. 
_V
2423cnvex 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' F  e.  _V
25 imaexg 5026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
26 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2726oion 7251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2824, 25, 27mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  G  e.  On
2928elexi 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  G  e.  _V
3029uniex 4516 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. dom  G  e.  _V
3130sucid 4471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
32 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
33 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
34 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
35 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
36 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
37 peano1 4675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  om
3837a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3936, 38sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
405, 2, 11, 4, 26, 32, 33, 34, 35, 21, 39cnfcom2lem 7404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
4131, 40syl5eleqr 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
4226oif 7245 . . . . . . . . . . 11  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
4342ffvelrni 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4441, 43syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4521, 44syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4620, 45sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
47 onelon 4417 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  W  e.  A )  ->  W  e.  On )
482, 46, 47syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
49 oecl 6536 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
501, 48, 49sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
51 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> om  /\  W  e.  A )  ->  ( F `  W
)  e.  om )
5217, 46, 51syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  om )
53 nnon 4662 . . . . . 6  |-  ( ( F `  W )  e.  om  ->  ( F `  W )  e.  On )
5452, 53syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  On )
55 cnfcom.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
56 cnfcom.x . . . . . 6  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
5755, 56omf1o 6965 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  e.  On  /\  ( F `  W )  e.  On )  -> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) )
5850, 54, 57syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) )
59 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> om  ->  F  Fn  A )
60 elpreima 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  ( W  e.  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  <->  ( W  e.  A  /\  ( F `  W )  e.  ( _V  \  1o ) ) ) )
6117, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( W  e.  A  /\  ( F `  W
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
6245, 61mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  e.  A  /\  ( F `  W
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) )
6362simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  ( _V 
\  1o ) )
64 dif1o 6499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  W )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( F `
 W )  e. 
_V  /\  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6564simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  W )  e.  ( _V  \  1o )  ->  ( F `
 W )  =/=  (/) )
6663, 65syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  =/=  (/) )
67 on0eln0 4447 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  W )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( F `  W )  <->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6852, 53, 673syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( F `  W )  <->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6966, 68mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( F `  W ) )
705, 2, 11, 4, 26, 32, 33, 34, 35, 21, 36cnfcom3lem 7406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
71 ondif1 6500 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  (/)  e.  W
) )
7271simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  ->  (/)  e.  W
)
7370, 72syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  W )
74 omabs 6645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  W )  e.  om  /\  (/)  e.  ( F `  W ) )  /\  ( W  e.  On  /\  (/)  e.  W ) )  ->  ( ( F `
 W )  .o  ( om  ^o  W
) )  =  ( om  ^o  W ) )
7552, 69, 48, 73, 74syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  W )  .o  ( om  ^o  W ) )  =  ( om  ^o  W ) )
76 f1oeq3 5465 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  =  ( om  ^o  W )  ->  (
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  <-> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
7775, 76syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  <-> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
7858, 77mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
795, 2, 11, 4, 26, 32, 33, 34, 35, 21, 39cnfcom2 7405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
80 f1oco 5496 . . 3  |-  ( ( ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  /\  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> (
( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) )  ->  ( ( X  o.  `' Y
)  o.  ( T `
 dom  G )
) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
8178, 79, 80syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) ) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
82 cnfcom.n . . 3  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
83 f1oeq1 5463 . . 3  |-  ( N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )  -> 
( N : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( ( X  o.  `' Y
)  o.  ( T `
 dom  G )
) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) ) )
8482, 83ax-mp 8 . 2  |-  ( N : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) ) : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
8581, 84sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  N : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    _E cep 4303   Oncon0 4392   suc csuc 4394   omcom 4656   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860  seq𝜔cseqom 6459   1oc1o 6472    +o coa 6476    .o comu 6477    ^o coe 6478   Fincfn 6863  OrdIsocoi 7224   CNF ccnf 7362
This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  7408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-cnf 7363
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