Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3 Structured version   Unicode version

Theorem cnfcom3 7664
 Description: Any infinite ordinal is equinumerous to a power of . (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 7666.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s CNF
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f CNF
cnfcom.g OrdIso
cnfcom.h seq𝜔
cnfcom.t seq𝜔
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.w
cnfcom3.1
cnfcom.x
cnfcom.y
cnfcom.n
Assertion
Ref Expression
cnfcom3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,   ,,   ,,,,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,,,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,,)   (,,)   (,,,,,)   (,,,,,)

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 7604 . . . . . 6
2 cnfcom.a . . . . . . 7
3 cnvimass 5227 . . . . . . . . 9
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . 13 CNF
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75, 6, 2cantnff1o 7655 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF
8 f1ocnv 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF CNF
9 f1of 5677 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF CNF
107, 8, 93syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 CNF
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . 13 CNF
134, 12syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . 12
145, 6, 2cantnfs 7624 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14mpbid 203 . . . . . . . . . . 11
1615simpld 447 . . . . . . . . . 10
17 fdm 5598 . . . . . . . . . 10
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9
193, 18syl5sseq 3398 . . . . . . . 8
20 cnfcom.w . . . . . . . . 9
21 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF
224, 21eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322cnvex 5409 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 imaexg 5220 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 OrdIso
2625oion 7508 . . . . . . . . . . . . . . 15
2723, 24, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14
2827elexi 2967 . . . . . . . . . . . . 13
2928uniex 4708 . . . . . . . . . . . 12
3029sucid 4663 . . . . . . . . . . 11
31 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12 seq𝜔
32 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12 seq𝜔
33 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12
34 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12
35 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13
36 peano1 4867 . . . . . . . . . . . . . 14
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3835, 37sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12
395, 2, 11, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 20, 38cnfcom2lem 7661 . . . . . . . . . . 11
4030, 39syl5eleqr 2525 . . . . . . . . . 10
4125oif 7502 . . . . . . . . . . 11
4241ffvelrni 5872 . . . . . . . . . 10
4340, 42syl 16 . . . . . . . . 9
4420, 43syl5eqel 2522 . . . . . . . 8
4519, 44sseldd 3351 . . . . . . 7
46 onelon 4609 . . . . . . 7
472, 45, 46syl2anc 644 . . . . . 6
48 oecl 6784 . . . . . 6
491, 47, 48sylancr 646 . . . . 5
5016, 45ffvelrnd 5874 . . . . . 6
51 nnon 4854 . . . . . 6
5250, 51syl 16 . . . . 5
53 cnfcom.y . . . . . 6
54 cnfcom.x . . . . . 6
5553, 54omf1o 7214 . . . . 5
5649, 52, 55syl2anc 644 . . . 4
57 ffn 5594 . . . . . . . . . . 11
58 elpreima 5853 . . . . . . . . . . 11
5916, 57, 583syl 19 . . . . . . . . . 10
6044, 59mpbid 203 . . . . . . . . 9
6160simprd 451 . . . . . . . 8
62 dif1o 6747 . . . . . . . . 9
6362simprbi 452 . . . . . . . 8
6461, 63syl 16 . . . . . . 7
65 on0eln0 4639 . . . . . . . 8
6650, 51, 653syl 19 . . . . . . 7
6764, 66mpbird 225 . . . . . 6
685, 2, 11, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 20, 35cnfcom3lem 7663 . . . . . . 7
69 ondif1 6748 . . . . . . . 8
7069simprbi 452 . . . . . . 7
7168, 70syl 16 . . . . . 6
72 omabs 6893 . . . . . 6
7350, 67, 47, 71, 72syl22anc 1186 . . . . 5
74 f1oeq3 5670 . . . . 5
7573, 74syl 16 . . . 4
7656, 75mpbid 203 . . 3
775, 2, 11, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 20, 38cnfcom2 7662 . . 3
78 f1oco 5701 . . 3
7976, 77, 78syl2anc 644 . 2
80 cnfcom.n . . 3
81 f1oeq1 5668 . . 3
8280, 81ax-mp 5 . 2
8379, 82sylibr 205 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958   cdif 3319   cun 3320   wss 3322  c0 3630  cuni 4017   cmpt 4269   cep 4495  con0 4584   csuc 4586  com 4848  ccnv 4880   cdm 4881  cima 4884   ccom 4885   wfn 5452  wf 5453  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  seq𝜔cseqom 6707  c1o 6720   coa 6724   comu 6725   coe 6726  cfn 7112  OrdIsocoi 7481   CNF ccnf 7619 This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  7665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seqom 6708  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-oexp 6733  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-cnf 7620
 Copyright terms: Public domain W3C validator