Theorem cnfcom3clem 7408

Description: Lemma for cnfcom3c 7409. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom3c.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom3c.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` b )
cnfcom3c.g	|- G = OrdIso ( _E , ( `' F " ( _V \ 1o ) ) )
cnfcom3c.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom3c.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom3c.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom3c.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom3c.w	|- W = ( G ` U. dom G )
cnfcom3c.x	|- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
cnfcom3c.y	|- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
cnfcom3c.n	|- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
cnfcom3c.l	|- L = ( b e. ( om ^o A ) |-> N )

Assertion

Ref	Expression
cnfcom3clem	|- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )

Distinct variable groups:   g, b, k, u, v, w, x, z, A   u, K, v   g, L, w   x, M   u, T, v, z   f, k, u, v, x, z, F   f, G, k, u, v, x, z   f, H, u, v, x   S, k, z   u, W, v, w, x

Allowed substitution hints:   A( f)   S( x, w, v, u, f, g, b)   T( x, w, f, g, k, b)   F( w, g, b)   G( w, g, b)   H( z, w, g, k, b)   K( x, z, w, f, g, k, b)   L( x, z, v, u, f, k, b)   M( z, w, v, u, f, g, k, b)   N( x, z, w, v, u, f, g, k, b)   W( z, f, g, k, b)   X( x, z, w, v, u, f, g, k, b)   Y( x, z, w, v, u, f, g, k, b)

Proof of Theorem cnfcom3clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom3c.s	. . . . . 6 |- S = dom ( om CNF A )
2		simp1 955	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> A e. On )
3		omelon 7347	. . . . . . . . 9 |- om e. On
4		1onn 6637	. . . . . . . . 9 |- 1o e. om
5		ondif2 6501	. . . . . . . . 9 |- ( om e. ( On \ 2o ) <-> ( om e. On /\ 1o e. om ) )
6	3, 4, 5	mpbir2an 886	. . . . . . . 8 |- om e. ( On \ 2o )
7		oeworde 6591	. . . . . . . 8 |- ( ( om e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> A C_ ( om ^o A ) )
8	6, 2, 7	sylancr 644	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> A C_ ( om ^o A ) )
9		simp2 956	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> b e. A )
10	8, 9	sseldd 3181	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> b e. ( om ^o A ) )
11		cnfcom3c.f	. . . . . 6 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` b )
12		cnfcom3c.g	. . . . . 6 |- G = OrdIso ( _E , ( `' F " ( _V \ 1o ) ) )
13		cnfcom3c.h	. . . . . 6 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
14		cnfcom3c.t	. . . . . 6 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
15		cnfcom3c.m	. . . . . 6 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
16		cnfcom3c.k	. . . . . 6 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
17		cnfcom3c.w	. . . . . 6 |- W = ( G ` U. dom G )
18		simp3 957	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> om C_ b )
19	1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	cnfcom3lem 7406	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> W e. ( On \ 1o ) )
20		cnfcom3c.x	. . . . . . 7 |- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
21		cnfcom3c.y	. . . . . . 7 |- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
22		cnfcom3c.n	. . . . . . 7 |- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
23	1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22	cnfcom3 7407	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
24		f1of 5472	. . . . . . . . . 10 |- ( N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) -> N : b --> ( om ^o W ) )
25	23, 24	syl 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N : b --> ( om ^o W ) )
26		vex 2791	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
27		fex 5749	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : b --> ( om ^o W ) /\ b e. _V ) -> N e. _V )
28	25, 26, 27	sylancl 643	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N e. _V )
29		cnfcom3c.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( b e. ( om ^o A ) |-> N )
30	29	fvmpt2 5608	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( om ^o A ) /\ N e. _V ) -> ( L ` b ) = N )
31	10, 28, 30	syl2anc 642	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( L ` b ) = N )
32		f1oeq1 5463	. . . . . . 7 |- ( ( L ` b ) = N -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
33	31, 32	syl 15	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
34	23, 33	mpbird 223	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
35		oveq2 5866	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( om ^o w ) = ( om ^o W ) )
36		f1oeq3 5465	. . . . . . 7 |- ( ( om ^o w ) = ( om ^o W ) -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
37	35, 36	syl 15	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
38	37	rspcev 2884	. . . . 5 |- ( ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
39	19, 34, 38	syl2anc 642	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
40	39	3expia 1153	. . 3 |- ( ( A e. On /\ b e. A ) -> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
41	40	ralrimiva 2626	. 2 |- ( A e. On -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
42		ovex 5883	. . . . 5 |- ( om ^o A ) e. _V
43	42	mptex 5746	. . . 4 |- ( b e. ( om ^o A ) |-> N ) e. _V
44	29, 43	eqeltri 2353	. . 3 |- L e. _V
45		nfmpt1 4109	. . . . . 6 |- F/_ b ( b e. ( om ^o A ) |-> N )
46	29, 45	nfcxfr 2416	. . . . 5 |- F/_ b L
47	46	nfeq2 2430	. . . 4 |- F/ b g = L
48		fveq1 5524	. . . . . . 7 |- ( g = L -> ( g ` b ) = ( L ` b ) )
49		f1oeq1 5463	. . . . . . 7 |- ( ( g ` b ) = ( L ` b ) -> ( ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
50	48, 49	syl 15	. . . . . 6 |- ( g = L -> ( ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
51	50	rexbidv 2564	. . . . 5 |- ( g = L -> ( E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
52	51	imbi2d 307	. . . 4 |- ( g = L -> ( ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) <-> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
53	47, 52	ralbid 2561	. . 3 |- ( g = L -> ( A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) <-> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
54	44, 53	spcev 2875	. 2 |- ( A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
55	41, 54	syl 15	1 |- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ w3a 934   E.wex 1528   = wceq 1623   e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   \ cdif 3149   u. cun 3150   C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   e. cmpt 4077   _E cep 4303   Oncon0 4392   omcom 4656   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   e. cmpt2 5860  seq_𝜔cseqom 6459   1oc1o 6472   2oc2o 6473   +o coa 6476   .o comu 6477   ^o coe 6478  OrdIsocoi 7224   CNF ccnf 7362

This theorem is referenced by:  cnfcom3c  7409

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-cnf 7363