Theorem cnfcom3clem 7665

Description: Lemma for cnfcom3c 7666. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom3c.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom3c.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` b )
cnfcom3c.g	|- G = OrdIso ( _E , ( `' F " ( _V \ 1o ) ) )
cnfcom3c.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom3c.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom3c.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom3c.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom3c.w	|- W = ( G ` U. dom G )
cnfcom3c.x	|- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
cnfcom3c.y	|- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
cnfcom3c.n	|- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
cnfcom3c.l	|- L = ( b e. ( om ^o A ) |-> N )

Assertion

Ref	Expression
cnfcom3clem	|- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )

Distinct variable groups:   g, b, k, u, v, w, x, z, A   u, K, v   g, L, w   x, M   u, T, v, z   f, k, u, v, x, z, F   f, G, k, u, v, x, z   f, H, u, v, x   S, k, z   u, W, v, w, x

Allowed substitution hints:   A( f)   S( x, w, v, u, f, g, b)   T( x, w, f, g, k, b)   F( w, g, b)   G( w, g, b)   H( z, w, g, k, b)   K( x, z, w, f, g, k, b)   L( x, z, v, u, f, k, b)   M( z, w, v, u, f, g, k, b)   N( x, z, w, v, u, f, g, k, b)   W( z, f, g, k, b)   X( x, z, w, v, u, f, g, k, b)   Y( x, z, w, v, u, f, g, k, b)

Proof of Theorem cnfcom3clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom3c.s	. . . . . 6 |- S = dom ( om CNF A )
2		simp1 958	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> A e. On )
3		omelon 7604	. . . . . . . . 9 |- om e. On
4		1onn 6885	. . . . . . . . 9 |- 1o e. om
5		ondif2 6749	. . . . . . . . 9 |- ( om e. ( On \ 2o ) <-> ( om e. On /\ 1o e. om ) )
6	3, 4, 5	mpbir2an 888	. . . . . . . 8 |- om e. ( On \ 2o )
7		oeworde 6839	. . . . . . . 8 |- ( ( om e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> A C_ ( om ^o A ) )
8	6, 2, 7	sylancr 646	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> A C_ ( om ^o A ) )
9		simp2 959	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> b e. A )
10	8, 9	sseldd 3351	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> b e. ( om ^o A ) )
11		cnfcom3c.f	. . . . . 6 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` b )
12		cnfcom3c.g	. . . . . 6 |- G = OrdIso ( _E , ( `' F " ( _V \ 1o ) ) )
13		cnfcom3c.h	. . . . . 6 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
14		cnfcom3c.t	. . . . . 6 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
15		cnfcom3c.m	. . . . . 6 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
16		cnfcom3c.k	. . . . . 6 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
17		cnfcom3c.w	. . . . . 6 |- W = ( G ` U. dom G )
18		simp3 960	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> om C_ b )
19	1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	cnfcom3lem 7663	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> W e. ( On \ 1o ) )
20		cnfcom3c.x	. . . . . . 7 |- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
21		cnfcom3c.y	. . . . . . 7 |- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
22		cnfcom3c.n	. . . . . . 7 |- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
23	1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22	cnfcom3 7664	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
24		f1of 5677	. . . . . . . . . 10 |- ( N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) -> N : b --> ( om ^o W ) )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N : b --> ( om ^o W ) )
26		vex 2961	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
27		fex 5972	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : b --> ( om ^o W ) /\ b e. _V ) -> N e. _V )
28	25, 26, 27	sylancl 645	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N e. _V )
29		cnfcom3c.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( b e. ( om ^o A ) |-> N )
30	29	fvmpt2 5815	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( om ^o A ) /\ N e. _V ) -> ( L ` b ) = N )
31	10, 28, 30	syl2anc 644	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( L ` b ) = N )
32		f1oeq1 5668	. . . . . . 7 |- ( ( L ` b ) = N -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
33	31, 32	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
34	23, 33	mpbird 225	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
35		oveq2 6092	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( om ^o w ) = ( om ^o W ) )
36		f1oeq3 5670	. . . . . . 7 |- ( ( om ^o w ) = ( om ^o W ) -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
37	35, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
38	37	rspcev 3054	. . . . 5 |- ( ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
39	19, 34, 38	syl2anc 644	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
40	39	3expia 1156	. . 3 |- ( ( A e. On /\ b e. A ) -> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
41	40	ralrimiva 2791	. 2 |- ( A e. On -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
42		ovex 6109	. . . . 5 |- ( om ^o A ) e. _V
43	42	mptex 5969	. . . 4 |- ( b e. ( om ^o A ) |-> N ) e. _V
44	29, 43	eqeltri 2508	. . 3 |- L e. _V
45		nfmpt1 4301	. . . . . 6 |- F/_ b ( b e. ( om ^o A ) |-> N )
46	29, 45	nfcxfr 2571	. . . . 5 |- F/_ b L
47	46	nfeq2 2585	. . . 4 |- F/ b g = L
48		fveq1 5730	. . . . . . 7 |- ( g = L -> ( g ` b ) = ( L ` b ) )
49		f1oeq1 5668	. . . . . . 7 |- ( ( g ` b ) = ( L ` b ) -> ( ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
50	48, 49	syl 16	. . . . . 6 |- ( g = L -> ( ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
51	50	rexbidv 2728	. . . . 5 |- ( g = L -> ( E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
52	51	imbi2d 309	. . . 4 |- ( g = L -> ( ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) <-> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
53	47, 52	ralbid 2725	. . 3 |- ( g = L -> ( A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) <-> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
54	44, 53	spcev 3045	. 2 |- ( A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
55	41, 54	syl 16	1 |- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ w3a 937   E.wex 1551   = wceq 1653   e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   \ cdif 3319   u. cun 3320   C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   e. cmpt 4269   _E cep 4495   Oncon0 4584   omcom 4848   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   "cima 4884   o. ccom 4885   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   e. cmpt2 6086  seq_𝜔cseqom 6707   1oc1o 6720   2oc2o 6721   +o coa 6724   .o comu 6725   ^o coe 6726  OrdIsocoi 7481   CNF ccnf 7619

This theorem is referenced by:  cnfcom3c  7666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seqom 6708  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-oexp 6733  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-cnf 7620