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Theorem cnfcom3clem 7665
Description: Lemma for cnfcom3c 7666. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom3c.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom3c.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  b
)
cnfcom3c.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom3c.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom3c.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom3c.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom3c.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom3c.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3c.x  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
cnfcom3c.y  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
cnfcom3c.n  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
cnfcom3c.l  |-  L  =  ( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3clem  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
Distinct variable groups:    g, b,
k, u, v, w, x, z, A    u, K, v    g, L, w   
x, M    u, T, v, z    f, k, u, v, x, z, F   
f, G, k, u, v, x, z    f, H, u, v, x    S, k, z    u, W, v, w, x
Allowed substitution hints:    A( f)    S( x, w, v, u, f, g, b)    T( x, w, f, g, k, b)    F( w, g, b)    G( w, g, b)    H( z, w, g, k, b)    K( x, z, w, f, g, k, b)    L( x, z, v, u, f, k, b)    M( z, w, v, u, f, g, k, b)    N( x, z, w, v, u, f, g, k, b)    W( z, f, g, k, b)    X( x, z, w, v, u, f, g, k, b)    Y( x, z, w, v, u, f, g, k, b)

Proof of Theorem cnfcom3clem
StepHypRef Expression
1 cnfcom3c.s . . . . . 6  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
2 simp1 958 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  A  e.  On )
3 omelon 7604 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
4 1onn 6885 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  om
5 ondif2 6749 . . . . . . . . 9  |-  ( om  e.  ( On  \  2o )  <->  ( om  e.  On  /\  1o  e.  om ) )
63, 4, 5mpbir2an 888 . . . . . . . 8  |-  om  e.  ( On  \  2o )
7 oeworde 6839 . . . . . . . 8  |-  ( ( om  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  A  C_  ( om  ^o  A ) )
86, 2, 7sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  A  C_  ( om  ^o  A
) )
9 simp2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  b  e.  A )
108, 9sseldd 3351 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  b  e.  ( om  ^o  A
) )
11 cnfcom3c.f . . . . . 6  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  b
)
12 cnfcom3c.g . . . . . 6  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
13 cnfcom3c.h . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
14 cnfcom3c.t . . . . . 6  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
15 cnfcom3c.m . . . . . 6  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
16 cnfcom3c.k . . . . . 6  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
17 cnfcom3c.w . . . . . 6  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
18 simp3 960 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  om  C_  b
)
191, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cnfcom3lem 7663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  W  e.  ( On  \  1o ) )
20 cnfcom3c.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
21 cnfcom3c.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
22 cnfcom3c.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
231, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22cnfcom3 7664 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
24 f1of 5677 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  N :
b --> ( om  ^o  W ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N : b --> ( om 
^o  W ) )
26 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
27 fex 5972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N : b --> ( om  ^o  W )  /\  b  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
2825, 26, 27sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N  e.  _V )
29 cnfcom3c.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
3029fvmpt2 5815 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( om 
^o  A )  /\  N  e.  _V )  ->  ( L `  b
)  =  N )
3110, 28, 30syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  ( L `  b )  =  N )
32 f1oeq1 5668 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  b )  =  N  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  N :
b
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  N :
b
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3423, 33mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
35 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( om  ^o  w )  =  ( om  ^o  W
) )
36 f1oeq3 5670 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  w )  =  ( om  ^o  W )  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3837rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  ( On 
\  1o )  /\  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
3919, 34, 38syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
40393expia 1156 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
4140ralrimiva 2791 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
42 ovex 6109 . . . . 5  |-  ( om 
^o  A )  e. 
_V
4342mptex 5969 . . . 4  |-  ( b  e.  ( om  ^o  A )  |->  N )  e.  _V
4429, 43eqeltri 2508 . . 3  |-  L  e. 
_V
45 nfmpt1 4301 . . . . . 6  |-  F/_ b
( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
4629, 45nfcxfr 2571 . . . . 5  |-  F/_ b L
4746nfeq2 2585 . . . 4  |-  F/ b  g  =  L
48 fveq1 5730 . . . . . . 7  |-  ( g  =  L  ->  (
g `  b )  =  ( L `  b ) )
49 f1oeq1 5668 . . . . . . 7  |-  ( ( g `  b )  =  ( L `  b )  ->  (
( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( g  =  L  ->  (
( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5150rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( g  =  L  ->  ( E. w  e.  ( On  \  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
5251imbi2d 309 . . . 4  |-  ( g  =  L  ->  (
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) )  <-> 
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) ) )
5347, 52ralbid 2725 . . 3  |-  ( g  =  L  ->  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) )  <->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) ) )
5444, 53spcev 3045 . 2  |-  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
5541, 54syl 16 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017    e. cmpt 4269    _E cep 4495   Oncon0 4584   omcom 4848   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   "cima 4884    o. ccom 4885   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086  seq𝜔cseqom 6707   1oc1o 6720   2oc2o 6721    +o coa 6724    .o comu 6725    ^o coe 6726  OrdIsocoi 7481   CNF ccnf 7619
This theorem is referenced by:  cnfcom3c  7666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seqom 6708  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-oexp 6733  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-cnf 7620
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