Theorem cnfcom3clem 7626

Description: Lemma for cnfcom3c 7627. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom3c.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom3c.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` b )
cnfcom3c.g	|- G = OrdIso ( _E , ( `' F " ( _V \ 1o ) ) )
cnfcom3c.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom3c.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom3c.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom3c.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom3c.w	|- W = ( G ` U. dom G )
cnfcom3c.x	|- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
cnfcom3c.y	|- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
cnfcom3c.n	|- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
cnfcom3c.l	|- L = ( b e. ( om ^o A ) |-> N )

Assertion

Ref	Expression
cnfcom3clem	|- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )

Distinct variable groups:   g, b, k, u, v, w, x, z, A   u, K, v   g, L, w   x, M   u, T, v, z   f, k, u, v, x, z, F   f, G, k, u, v, x, z   f, H, u, v, x   S, k, z   u, W, v, w, x

Allowed substitution hints:   A( f)   S( x, w, v, u, f, g, b)   T( x, w, f, g, k, b)   F( w, g, b)   G( w, g, b)   H( z, w, g, k, b)   K( x, z, w, f, g, k, b)   L( x, z, v, u, f, k, b)   M( z, w, v, u, f, g, k, b)   N( x, z, w, v, u, f, g, k, b)   W( z, f, g, k, b)   X( x, z, w, v, u, f, g, k, b)   Y( x, z, w, v, u, f, g, k, b)

Proof of Theorem cnfcom3clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom3c.s	. . . . . 6 |- S = dom ( om CNF A )
2		simp1 957	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> A e. On )
3		omelon 7565	. . . . . . . . 9 |- om e. On
4		1onn 6849	. . . . . . . . 9 |- 1o e. om
5		ondif2 6713	. . . . . . . . 9 |- ( om e. ( On \ 2o ) <-> ( om e. On /\ 1o e. om ) )
6	3, 4, 5	mpbir2an 887	. . . . . . . 8 |- om e. ( On \ 2o )
7		oeworde 6803	. . . . . . . 8 |- ( ( om e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> A C_ ( om ^o A ) )
8	6, 2, 7	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> A C_ ( om ^o A ) )
9		simp2 958	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> b e. A )
10	8, 9	sseldd 3317	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> b e. ( om ^o A ) )
11		cnfcom3c.f	. . . . . 6 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` b )
12		cnfcom3c.g	. . . . . 6 |- G = OrdIso ( _E , ( `' F " ( _V \ 1o ) ) )
13		cnfcom3c.h	. . . . . 6 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
14		cnfcom3c.t	. . . . . 6 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
15		cnfcom3c.m	. . . . . 6 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
16		cnfcom3c.k	. . . . . 6 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
17		cnfcom3c.w	. . . . . 6 |- W = ( G ` U. dom G )
18		simp3 959	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> om C_ b )
19	1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	cnfcom3lem 7624	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> W e. ( On \ 1o ) )
20		cnfcom3c.x	. . . . . . 7 |- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
21		cnfcom3c.y	. . . . . . 7 |- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
22		cnfcom3c.n	. . . . . . 7 |- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
23	1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22	cnfcom3 7625	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
24		f1of 5641	. . . . . . . . . 10 |- ( N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) -> N : b --> ( om ^o W ) )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N : b --> ( om ^o W ) )
26		vex 2927	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
27		fex 5936	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : b --> ( om ^o W ) /\ b e. _V ) -> N e. _V )
28	25, 26, 27	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N e. _V )
29		cnfcom3c.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( b e. ( om ^o A ) |-> N )
30	29	fvmpt2 5779	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( om ^o A ) /\ N e. _V ) -> ( L ` b ) = N )
31	10, 28, 30	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( L ` b ) = N )
32		f1oeq1 5632	. . . . . . 7 |- ( ( L ` b ) = N -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
33	31, 32	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
34	23, 33	mpbird 224	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
35		oveq2 6056	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( om ^o w ) = ( om ^o W ) )
36		f1oeq3 5634	. . . . . . 7 |- ( ( om ^o w ) = ( om ^o W ) -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
37	35, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
38	37	rspcev 3020	. . . . 5 |- ( ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
39	19, 34, 38	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
40	39	3expia 1155	. . 3 |- ( ( A e. On /\ b e. A ) -> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
41	40	ralrimiva 2757	. 2 |- ( A e. On -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
42		ovex 6073	. . . . 5 |- ( om ^o A ) e. _V
43	42	mptex 5933	. . . 4 |- ( b e. ( om ^o A ) |-> N ) e. _V
44	29, 43	eqeltri 2482	. . 3 |- L e. _V
45		nfmpt1 4266	. . . . . 6 |- F/_ b ( b e. ( om ^o A ) |-> N )
46	29, 45	nfcxfr 2545	. . . . 5 |- F/_ b L
47	46	nfeq2 2559	. . . 4 |- F/ b g = L
48		fveq1 5694	. . . . . . 7 |- ( g = L -> ( g ` b ) = ( L ` b ) )
49		f1oeq1 5632	. . . . . . 7 |- ( ( g ` b ) = ( L ` b ) -> ( ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
50	48, 49	syl 16	. . . . . 6 |- ( g = L -> ( ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
51	50	rexbidv 2695	. . . . 5 |- ( g = L -> ( E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
52	51	imbi2d 308	. . . 4 |- ( g = L -> ( ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) <-> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
53	47, 52	ralbid 2692	. . 3 |- ( g = L -> ( A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) <-> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
54	44, 53	spcev 3011	. 2 |- ( A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
55	41, 54	syl 16	1 |- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924   \ cdif 3285   u. cun 3286   C_ wss 3288   (/)c0 3596   U.cuni 3983   e. cmpt 4234   _E cep 4460   Oncon0 4549   omcom 4812   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   "cima 4848   o. ccom 4849   -->wf 5417   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   e. cmpt2 6050  seq_𝜔cseqom 6671   1oc1o 6684   2oc2o 6685   +o coa 6688   .o comu 6689   ^o coe 6690  OrdIsocoi 7442   CNF ccnf 7580

This theorem is referenced by:  cnfcom3c  7627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-seqom 6672  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-oexp 6697  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-oi 7443  df-cnf 7581