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Theorem cnfcom3lem 7663
Description: Lemma for cnfcom3 7664. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
2 cnfcom.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5227 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
6 omelon 7604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
85, 7, 2cantnff1o 7655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcom.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1311, 12ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
144, 13syl5eqel 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
155, 7, 2cantnfs 7624 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1614, 15mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1716simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
18 fdm 5598 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
203, 19syl5sseq 3398 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
21 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
224, 21eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
_V
2322cnvex 5409 . . . . . . . . . . 11  |-  `' F  e.  _V
24 imaexg 5220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
25 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2625oion 7508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2723, 24, 26mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  dom  G  e.  On
2827elexi 2967 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  _V
2928uniex 4708 . . . . . . . 8  |-  U. dom  G  e.  _V
3029sucid 4663 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
31 cnfcom.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
32 cnfcom.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
33 cnfcom.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
34 cnfcom.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
35 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
36 peano1 4867 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3835, 37sseldd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
395, 2, 12, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 1, 38cnfcom2lem 7661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
4030, 39syl5eleqr 2525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
4125oif 7502 . . . . . . 7  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
4241ffvelrni 5872 . . . . . 6  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4340, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4420, 43sseldd 3351 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  A
)
45 onelon 4609 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  U. dom  G )  e.  A )  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
462, 44, 45syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
471, 46syl5eqel 2522 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
48 oecl 6784 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
496, 2, 48sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
50 onelon 4609 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  A
)  e.  On  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  B  e.  On )
5149, 12, 50syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
52 ontri1 4618 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
536, 51, 52sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
5435, 53mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  om )
554fveq2i 5734 . . . . . . . 8  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
56 f1ocnvfv2 6018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
578, 12, 56syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5855, 57syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  B )
5958adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  =  B )
606a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  om  e.  On )
612adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  On )
6214adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  e.  S )
6336a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (/)  e.  om )
64 1on 6734 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
6564a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  1o  e.  On )
662, 20ssexd 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
675, 7, 2, 25, 14cantnfcl 7625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
6867simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
6925oiiso 7509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
7066, 68, 69syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
7170ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
72 isof1o 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
74 f1ocnv 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  ->  `' G :
( `' F "
( _V  \  1o ) ) -1-1-onto-> dom  G )
75 f1of 5677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) -1-1-onto-> dom 
G  ->  `' G : ( `' F " ( _V  \  1o ) ) --> dom  G
)
7673, 74, 753syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G )
77 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  dom  G )
7876, 77sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  dom  G )
79 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  x )  e.  dom  G  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
81 onelon 4609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  e.  On  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
8227, 78, 81sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  On )
83 onuni 4776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  e.  On  ->  U.
dom  G  e.  On )
8427, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. dom  G  e.  On
85 ontri1 4618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' G `  x )  e.  On  /\ 
U. dom  G  e.  On )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8682, 84, 85sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( ( `' G `  x )  C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8780, 86mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
8840ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  U. dom  G  e.  dom  G )
89 isorel 6049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( U. dom  G  e.  dom  G  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <-> 
( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x )
) ) )
9071, 88, 78, 89syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
91 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' G `  x )  e.  _V
9291epelc 4499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
931breq1i 4222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
94 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 ( `' G `  x ) )  e. 
_V
9594epelc 4499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x )
) )
9693, 95bitr3i 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `
 ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
9790, 92, 963bitr3g 280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
98 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  W  =  (/) )
99 f1ocnvfv2 6018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  x  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
10073, 99sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
10198, 100eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  (/)  e.  x ) )
10297, 101bitrd 246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  (/)  e.  x
) )
10387, 102mtbid 293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  -.  (/)  e.  x )
104 onss 4774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
1052, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
10620, 105sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On )
107106adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  On )
108107sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
109 on0eqel 4702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  =  (/)  \/  (/)  e.  x
) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( x  =  (/)  \/  (/)  e.  x ) )
111110ord 368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( -.  x  =  (/)  ->  (/)  e.  x ) )
112103, 111mt3d 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  =  (/) )
113 el1o 6746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
114112, 113sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  e.  1o )
115114ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  ->  x  e.  1o ) )
116115ssrdv 3356 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  1o )
1175, 60, 61, 62, 63, 65, 116cantnflt2 7631 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  ( om 
^o  1o ) )
118 oe1 6790 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
1196, 118ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
120117, 119syl6eleq 2528 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  om )
12159, 120eqeltrrd 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  B  e.  om )
122121ex 425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  B  e.  om )
)
123122necon3bd 2640 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  e. 
om  ->  W  =/=  (/) ) )
12454, 123mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
125 dif1o 6747 . 2  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  W  =/=  (/) ) )
12647, 124, 125sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    _E cep 4495    We wwe 4543   Oncon0 4584   suc csuc 4586   omcom 4848   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   "cima 4884   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457    Isom wiso 5458  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086  seq𝜔cseqom 6707   1oc1o 6720    +o coa 6724    .o comu 6725    ^o coe 6726   Fincfn 7112  OrdIsocoi 7481   CNF ccnf 7619
This theorem is referenced by:  cnfcom3  7664  cnfcom3clem  7665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seqom 6708  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-oexp 6733  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-cnf 7620
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