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Theorem cnfcom3lem 7620
Description: Lemma for cnfcom3 7621. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
2 cnfcom.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5187 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
6 omelon 7561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
85, 7, 2cantnff1o 7612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcom.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1311, 12ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
144, 13syl5eqel 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
155, 7, 2cantnfs 7581 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1614, 15mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1716simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
18 fdm 5558 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
203, 19syl5sseq 3360 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
21 fvex 5705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
224, 21eqeltri 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
_V
2322cnvex 5369 . . . . . . . . . . 11  |-  `' F  e.  _V
24 imaexg 5180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
25 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2625oion 7465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2723, 24, 26mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  dom  G  e.  On
2827elexi 2929 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  _V
2928uniex 4668 . . . . . . . 8  |-  U. dom  G  e.  _V
3029sucid 4624 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
31 cnfcom.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
32 cnfcom.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
33 cnfcom.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
34 cnfcom.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
35 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
36 peano1 4827 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3835, 37sseldd 3313 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
395, 2, 12, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 1, 38cnfcom2lem 7618 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
4030, 39syl5eleqr 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
4125oif 7459 . . . . . . 7  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
4241ffvelrni 5832 . . . . . 6  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4340, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4420, 43sseldd 3313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  A
)
45 onelon 4570 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  U. dom  G )  e.  A )  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
462, 44, 45syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
471, 46syl5eqel 2492 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
48 oecl 6744 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
496, 2, 48sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
50 onelon 4570 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  A
)  e.  On  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  B  e.  On )
5149, 12, 50syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
52 ontri1 4579 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
536, 51, 52sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
5435, 53mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  om )
554fveq2i 5694 . . . . . . . 8  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
56 f1ocnvfv2 5978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
578, 12, 56syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5855, 57syl5eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  B )
5958adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  =  B )
606a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  om  e.  On )
612adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  On )
6214adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  e.  S )
6336a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (/)  e.  om )
64 1on 6694 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
6564a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  1o  e.  On )
662, 20ssexd 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
675, 7, 2, 25, 14cantnfcl 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
6867simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
6925oiiso 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
7066, 68, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
7170ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
72 isof1o 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
74 f1ocnv 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  ->  `' G :
( `' F "
( _V  \  1o ) ) -1-1-onto-> dom  G )
75 f1of 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) -1-1-onto-> dom 
G  ->  `' G : ( `' F " ( _V  \  1o ) ) --> dom  G
)
7673, 74, 753syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G )
77 ffvelrn 5831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  dom  G )
7876, 77sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  dom  G )
79 elssuni 4007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  x )  e.  dom  G  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
81 onelon 4570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  e.  On  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
8227, 78, 81sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  On )
83 onuni 4736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  e.  On  ->  U.
dom  G  e.  On )
8427, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. dom  G  e.  On
85 ontri1 4579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' G `  x )  e.  On  /\ 
U. dom  G  e.  On )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8682, 84, 85sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( ( `' G `  x )  C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8780, 86mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
8840ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  U. dom  G  e.  dom  G )
89 isorel 6009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( U. dom  G  e.  dom  G  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <-> 
( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x )
) ) )
9071, 88, 78, 89syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
91 fvex 5705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' G `  x )  e.  _V
9291epelc 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
931breq1i 4183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
94 fvex 5705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 ( `' G `  x ) )  e. 
_V
9594epelc 4460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x )
) )
9693, 95bitr3i 243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `
 ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
9790, 92, 963bitr3g 279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
98 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  W  =  (/) )
99 f1ocnvfv2 5978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  x  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
10073, 99sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
10198, 100eleq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  (/)  e.  x ) )
10297, 101bitrd 245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  (/)  e.  x
) )
10387, 102mtbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  -.  (/)  e.  x )
104 onss 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
1052, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
10620, 105sstrd 3322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On )
107106adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  On )
108107sselda 3312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
109 on0eqel 4662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  =  (/)  \/  (/)  e.  x
) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( x  =  (/)  \/  (/)  e.  x ) )
111110ord 367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( -.  x  =  (/)  ->  (/)  e.  x ) )
112103, 111mt3d 119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  =  (/) )
113 el1o 6706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
114112, 113sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  e.  1o )
115114ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  ->  x  e.  1o ) )
116115ssrdv 3318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  1o )
1175, 60, 61, 62, 63, 65, 116cantnflt2 7588 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  ( om 
^o  1o ) )
118 oe1 6750 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
1196, 118ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
120117, 119syl6eleq 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  om )
12159, 120eqeltrrd 2483 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  B  e.  om )
122121ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  B  e.  om )
)
123122necon3bd 2608 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  e. 
om  ->  W  =/=  (/) ) )
12454, 123mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
125 dif1o 6707 . 2  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  W  =/=  (/) ) )
12647, 124, 125sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   _Vcvv 2920    \ cdif 3281    u. cun 3282    C_ wss 3284   (/)c0 3592   U.cuni 3979   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230    _E cep 4456    We wwe 4504   Oncon0 4545   suc csuc 4547   omcom 4808   `'ccnv 4840   dom cdm 4841   "cima 4844   -->wf 5413   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417    Isom wiso 5418  (class class class)co 6044    e. cmpt2 6046  seq𝜔cseqom 6667   1oc1o 6680    +o coa 6684    .o comu 6685    ^o coe 6686   Fincfn 7072  OrdIsocoi 7438   CNF ccnf 7576
This theorem is referenced by:  cnfcom3  7621  cnfcom3clem  7622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-seqom 6668  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-oexp 6693  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-oi 7439  df-cnf 7577
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