Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcomlem Structured version   Unicode version

Theorem cnfcomlem 7648
 Description: Lemma for cnfcom 7649. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s CNF
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f CNF
cnfcom.g OrdIso
cnfcom.h seq𝜔
cnfcom.t seq𝜔
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.1
cnfcom.2
cnfcom.3
Assertion
Ref Expression
cnfcomlem
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem cnfcomlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 7593 . . . . . . 7
2 cnfcom.a . . . . . . . 8
3 cnvimass 5216 . . . . . . . . . 10
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14 CNF
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75, 6, 2cantnff1o 7644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF
8 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF CNF
9 f1of 5666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF CNF
107, 8, 93syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15
1210, 11ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . 14 CNF
134, 12syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . . 13
145, 6, 2cantnfs 7613 . . . . . . . . . . . . 13
1513, 14mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
1615simpld 446 . . . . . . . . . . 11
17 fdm 5587 . . . . . . . . . . 11
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10
193, 18syl5sseq 3388 . . . . . . . . 9
20 cnfcom.1 . . . . . . . . . 10
21 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12 OrdIso
2221oif 7491 . . . . . . . . . . 11
2322ffvelrni 5861 . . . . . . . . . 10
2420, 23syl 16 . . . . . . . . 9
2519, 24sseldd 3341 . . . . . . . 8
26 onelon 4598 . . . . . . . 8
272, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . 7
28 oecl 6773 . . . . . . 7
291, 27, 28sylancr 645 . . . . . 6
3016, 25ffvelrnd 5863 . . . . . . 7
31 nnon 4843 . . . . . . 7
3230, 31syl 16 . . . . . 6
33 omcl 6772 . . . . . 6
3429, 32, 33syl2anc 643 . . . . 5
355, 6, 2, 21, 13cantnfcl 7614 . . . . . . . 8
3635simprd 450 . . . . . . 7
37 elnn 4847 . . . . . . 7
3820, 36, 37syl2anc 643 . . . . . 6
39 cnfcom.h . . . . . . . 8 seq𝜔
4039cantnfvalf 7612 . . . . . . 7
4140ffvelrni 5861 . . . . . 6
4238, 41syl 16 . . . . 5
43 eqid 2435 . . . . . 6
4443oacomf1o 6800 . . . . 5
4534, 42, 44syl2anc 643 . . . 4
46 cnfcom.t . . . . . . . 8 seq𝜔
4746seqomsuc 6706 . . . . . . 7
4838, 47syl 16 . . . . . 6
49 nfcv 2571 . . . . . . . . 9
50 nfcv 2571 . . . . . . . . 9
51 nfcv 2571 . . . . . . . . 9
52 nfcv 2571 . . . . . . . . 9
53 cnfcom.k . . . . . . . . . 10
54 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13
5554cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . . 12
56 cnfcom.m . . . . . . . . . . . . . 14
57 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15
6058fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15
6159, 60oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14
6256, 61syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13
63 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463dmeqd 5064 . . . . . . . . . . . . . 14
6564oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13
6662, 65mpteq12dv 4279 . . . . . . . . . . . 12
6755, 66syl5eq 2479 . . . . . . . . . . 11
68 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14
6968cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . . . 13
7062oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14
7164, 70mpteq12dv 4279 . . . . . . . . . . . . 13
7269, 71syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12
7372cnveqd 5040 . . . . . . . . . . 11
7467, 73uneq12d 3494 . . . . . . . . . 10
7553, 74syl5eq 2479 . . . . . . . . 9
7649, 50, 51, 52, 75cbvmpt2 6143 . . . . . . . 8
7776a1i 11 . . . . . . 7
78 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12
7978fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11
8079oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10
8179fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
8280, 81oveq12d 6091 . . . . . . . . 9
83 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
8483dmeqd 5064 . . . . . . . . . . 11
85 cnfcom.3 . . . . . . . . . . . 12
86 f1odm 5670 . . . . . . . . . . . 12
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11
8884, 87sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . 10
8988oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
9082, 89mpteq12dv 4279 . . . . . . . 8
9182oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10
9288, 91mpteq12dv 4279 . . . . . . . . 9
9392cnveqd 5040 . . . . . . . 8
9490, 93uneq12d 3494 . . . . . . 7
95 elex 2956 . . . . . . . 8
9620, 95syl 16 . . . . . . 7
97 fvex 5734 . . . . . . . 8
9897a1i 11 . . . . . . 7
99 ovex 6098 . . . . . . . . . 10
10099mptex 5958 . . . . . . . . 9
101 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11
102101mptex 5958 . . . . . . . . . 10
103102cnvex 5398 . . . . . . . . 9
104100, 103unex 4699 . . . . . . . 8
105104a1i 11 . . . . . . 7
10677, 94, 96, 98, 105ovmpt2d 6193 . . . . . 6
10748, 106eqtrd 2467 . . . . 5
108 f1oeq1 5657 . . . . 5
109107, 108syl 16 . . . 4
11045, 109mpbird 224 . . 3
1111a1i 11 . . . . . 6
112 simpl 444 . . . . . 6
113 simpr 448 . . . . . 6
11456oveq1i 6083 . . . . . . . . . 10
115114a1i 11 . . . . . . . . 9
116115mpt2eq3ia 6131 . . . . . . . 8
117 eqid 2435 . . . . . . . 8
118 seqomeq12 6703 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
119116, 117, 118mp2an 654 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
12039, 119eqtri 2455 . . . . . 6 seq𝜔
1215, 111, 112, 21, 113, 120cantnfsuc 7617 . . . . 5
1222, 13, 38, 121syl21anc 1183 . . . 4
123 f1oeq2 5658 . . . 4
124122, 123syl 16 . . 3
125110, 124mpbird 224 . 2
126 sssucid 4650 . . . . . 6
127126, 20sseldi 3338 . . . . 5
128 epelg 4487 . . . . . . . . . . 11
12920, 128syl 16 . . . . . . . . . 10
130129biimpar 472 . . . . . . . . 9
1312, 19ssexd 4342 . . . . . . . . . . . 12
13235simpld 446 . . . . . . . . . . . 12
13321oiiso 7498 . . . . . . . . . . . 12
134131, 132, 133syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
135134adantr 452 . . . . . . . . . 10
13621oicl 7490 . . . . . . . . . . . 12
137 ordelss 4589 . . . . . . . . . . . 12
138136, 20, 137sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
139138sselda 3340 . . . . . . . . . 10
14020adantr 452 . . . . . . . . . 10
141 isorel 6038 . . . . . . . . . 10
142135, 139, 140, 141syl12anc 1182 . . . . . . . . 9
143130, 142mpbid 202 . . . . . . . 8
144 fvex 5734 . . . . . . . . 9
145144epelc 4488 . . . . . . . 8
146143, 145sylib 189 . . . . . . 7
147146ralrimiva 2781 . . . . . 6
148 ffun 5585 . . . . . . . 8
14922, 148ax-mp 8 . . . . . . 7
150 funimass4 5769 . . . . . . 7
151149, 138, 150sylancr 645 . . . . . 6
152147, 151mpbird 224 . . . . 5
1531a1i 11 . . . . . 6
154 simpll 731 . . . . . 6
155 simplr 732 . . . . . 6
156 peano1 4856 . . . . . . 7
157156a1i 11 . . . . . 6
158 simpr1 963 . . . . . 6
159 simpr2 964 . . . . . 6
160 simpr3 965 . . . . . 6
1615, 153, 154, 21, 155, 120, 157, 158, 159, 160cantnflt 7619 . . . . 5
1622, 13, 127, 27, 152, 161syl23anc 1191 . . . 4
163 ffn 5583 . . . . . . . . . 10
164 elpreima 5842 . . . . . . . . . 10
16516, 163, 1643syl 19 . . . . . . . . 9
16624, 165mpbid 202 . . . . . . . 8
167166simprd 450 . . . . . . 7
168 dif1o 6736 . . . . . . . 8
169168simprbi 451 . . . . . . 7
170167, 169syl 16 . . . . . 6
171 on0eln0 4628 . . . . . . 7
17232, 171syl 16 . . . . . 6
173170, 172mpbird 224 . . . . 5
174 omword1 6808 . . . . 5
17529, 32, 173, 174syl21anc 1183 . . . 4
176 oaabs2 6880 . . . 4
177162, 34, 175, 176syl21anc 1183 . . 3
178 f1oeq3 5659 . . 3
179177, 178syl 16 . 2
180125, 179mpbid 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cep 4484   wwe 4532   word 4572  con0 4573   csuc 4575  com 4837  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446   wiso 5447  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  seq𝜔cseqom 6696  c1o 6709   coa 6713   comu 6714   coe 6715  cfn 7101  OrdIsocoi 7470   CNF ccnf 7608 This theorem is referenced by:  cnfcom  7649 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-seqom 6697  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-oexp 6722  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-cnf 7609
 Copyright terms: Public domain W3C validator