Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcomlem Unicode version

Theorem cnfcomlem 7402
 Description: Lemma for cnfcom 7403. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s CNF
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f CNF
cnfcom.g OrdIso
cnfcom.h seq𝜔
cnfcom.t seq𝜔
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.1
cnfcom.2
cnfcom.3
Assertion
Ref Expression
cnfcomlem
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem cnfcomlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 7347 . . . . . . 7
2 cnfcom.a . . . . . . . 8
3 cnvimass 5033 . . . . . . . . . 10
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14 CNF
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CNF
61a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75, 6, 2cantnff1o 7398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF
8 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF CNF
9 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF CNF
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15
12 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF CNF
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14 CNF
144, 13syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . 13
155, 6, 2cantnfs 7367 . . . . . . . . . . . . 13
1614, 15mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
1716simpld 445 . . . . . . . . . . 11
18 fdm 5393 . . . . . . . . . . 11
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . 10
203, 19syl5sseq 3226 . . . . . . . . 9
21 cnfcom.1 . . . . . . . . . 10
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12 OrdIso
2322oif 7245 . . . . . . . . . . 11
2423ffvelrni 5664 . . . . . . . . . 10
2521, 24syl 15 . . . . . . . . 9
2620, 25sseldd 3181 . . . . . . . 8
27 onelon 4417 . . . . . . . 8
282, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . 7
29 oecl 6536 . . . . . . 7
301, 28, 29sylancr 644 . . . . . 6
31 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8
3217, 26, 31syl2anc 642 . . . . . . 7
33 nnon 4662 . . . . . . 7
3432, 33syl 15 . . . . . 6
35 omcl 6535 . . . . . 6
3630, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5
375, 6, 2, 22, 14cantnfcl 7368 . . . . . . . 8
3837simprd 449 . . . . . . 7
39 elnn 4666 . . . . . . 7
4021, 38, 39syl2anc 642 . . . . . 6
41 cnfcom.h . . . . . . . 8 seq𝜔
4241cantnfvalf 7366 . . . . . . 7
4342ffvelrni 5664 . . . . . 6
4440, 43syl 15 . . . . 5
45 eqid 2283 . . . . . 6
4645oacomf1o 6563 . . . . 5
4736, 44, 46syl2anc 642 . . . 4
48 cnfcom.t . . . . . . . 8 seq𝜔
4948seqomsuc 6469 . . . . . . 7
5040, 49syl 15 . . . . . 6
51 nfcv 2419 . . . . . . . . 9
52 nfcv 2419 . . . . . . . . 9
53 nfcv 2419 . . . . . . . . 9
54 nfcv 2419 . . . . . . . . 9
55 cnfcom.k . . . . . . . . . 10
56 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13
5756cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . 12
58 cnfcom.m . . . . . . . . . . . . . 14
59 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15
6260fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15
6361, 62oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14
6458, 63syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13
65 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . 14
6766oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13
6864, 67mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . 12
6957, 68syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11
70 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14
7170cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . . 13
7264oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14
7366, 72mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . . 13
7471, 73syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12
7574cnveqd 4857 . . . . . . . . . . 11
7669, 75uneq12d 3330 . . . . . . . . . 10
7755, 76syl5eq 2327 . . . . . . . . 9
7851, 52, 53, 54, 77cbvmpt2 5925 . . . . . . . 8
7978a1i 10 . . . . . . 7
80 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12
8180fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11
8281oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10
8381fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10
8482, 83oveq12d 5876 . . . . . . . . 9
85 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
8685dmeqd 4881 . . . . . . . . . . 11
87 cnfcom.3 . . . . . . . . . . . 12
88 f1odm 5476 . . . . . . . . . . . 12
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . 11
9086, 89sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . 10
9190oveq1d 5873 . . . . . . . . 9
9284, 91mpteq12dv 4098 . . . . . . . 8
9384oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10
9490, 93mpteq12dv 4098 . . . . . . . . 9
9594cnveqd 4857 . . . . . . . 8
9692, 95uneq12d 3330 . . . . . . 7
97 elex 2796 . . . . . . . 8
9821, 97syl 15 . . . . . . 7
99 fvex 5539 . . . . . . . 8
10099a1i 10 . . . . . . 7
101 ovex 5883 . . . . . . . . . 10
102101mptex 5746 . . . . . . . . 9
103 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11
104103mptex 5746 . . . . . . . . . 10
105104cnvex 5209 . . . . . . . . 9
106102, 105unex 4518 . . . . . . . 8
107106a1i 10 . . . . . . 7
10879, 96, 98, 100, 107ovmpt2d 5975 . . . . . 6
10950, 108eqtrd 2315 . . . . 5
110 f1oeq1 5463 . . . . 5
111109, 110syl 15 . . . 4
11247, 111mpbird 223 . . 3
1131a1i 10 . . . . . 6
114 simpl 443 . . . . . 6
115 simpr 447 . . . . . 6
11658oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10
117116a1i 10 . . . . . . . . 9
118117mpt2eq3ia 5913 . . . . . . . 8
119 eqid 2283 . . . . . . . 8
120 seqomeq12 6466 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
121118, 119, 120mp2an 653 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
12241, 121eqtri 2303 . . . . . 6 seq𝜔
1235, 113, 114, 22, 115, 122cantnfsuc 7371 . . . . 5
1242, 14, 40, 123syl21anc 1181 . . . 4
125 f1oeq2 5464 . . . 4
126124, 125syl 15 . . 3
127112, 126mpbird 223 . 2
128 sssucid 4469 . . . . . 6
129128, 21sseldi 3178 . . . . 5
130 epelg 4306 . . . . . . . . . . 11
13121, 130syl 15 . . . . . . . . . 10
132131biimpar 471 . . . . . . . . 9
133 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . . 13
13420, 2, 133syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
13537simpld 445 . . . . . . . . . . . 12
13622oiiso 7252 . . . . . . . . . . . 12
137134, 135, 136syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
138137adantr 451 . . . . . . . . . 10
13922oicl 7244 . . . . . . . . . . . 12
140 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . 12
141139, 21, 140sylancr 644 . . . . . . . . . . 11
142141sselda 3180 . . . . . . . . . 10
14321adantr 451 . . . . . . . . . 10
144 isorel 5823 . . . . . . . . . 10
145138, 142, 143, 144syl12anc 1180 . . . . . . . . 9
146132, 145mpbid 201 . . . . . . . 8
147 fvex 5539 . . . . . . . . 9
148147epelc 4307 . . . . . . . 8
149146, 148sylib 188 . . . . . . 7
150149ralrimiva 2626 . . . . . 6
151 ffun 5391 . . . . . . . 8
15223, 151ax-mp 8 . . . . . . 7
153 funimass4 5573 . . . . . . 7
154152, 141, 153sylancr 644 . . . . . 6
155150, 154mpbird 223 . . . . 5
1561a1i 10 . . . . . 6
157 simpll 730 . . . . . 6
158 simplr 731 . . . . . 6
159 peano1 4675 . . . . . . 7
160159a1i 10 . . . . . 6
161 simpr1 961 . . . . . 6
162 simpr2 962 . . . . . 6
163 simpr3 963 . . . . . 6
1645, 156, 157, 22, 158, 122, 160, 161, 162, 163cantnflt 7373 . . . . 5
1652, 14, 129, 28, 155, 164syl23anc 1189 . . . 4
166 ffn 5389 . . . . . . . . . 10
167 elpreima 5645 . . . . . . . . . 10
16817, 166, 1673syl 18 . . . . . . . . 9
16925, 168mpbid 201 . . . . . . . 8
170169simprd 449 . . . . . . 7
171 dif1o 6499 . . . . . . . 8
172171simprbi 450 . . . . . . 7
173170, 172syl 15 . . . . . 6
174 on0eln0 4447 . . . . . . 7
17534, 174syl 15 . . . . . 6
176173, 175mpbird 223 . . . . 5
177 omword1 6571 . . . . 5
17830, 34, 176, 177syl21anc 1181 . . . 4
179 oaabs2 6643 . . . 4
180165, 36, 178, 179syl21anc 1181 . . 3
181 f1oeq3 5465 . . 3
182180, 181syl 15 . 2
183127, 182mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  cvv 2788   cdif 3149   cun 3150   wss 3152  c0 3455   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cep 4303   wwe 4351   word 4391  con0 4392   csuc 4394  com 4656  ccnv 4688   cdm 4689  cima 4692   wfun 5249   wfn 5250  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255   wiso 5256  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  seq𝜔cseqom 6459  c1o 6472   coa 6476   comu 6477   coe 6478  cfn 6863  OrdIsocoi 7224   CNF ccnf 7362 This theorem is referenced by:  cnfcom  7403 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-cnf 7363
 Copyright terms: Public domain W3C validator