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Theorem cnfcomlem 7418
Description: Lemma for cnfcom 7419. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.1  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
cnfcom.2  |-  ( ph  ->  O  e.  ( om 
^o  ( G `  I ) ) )
cnfcom.3  |-  ( ph  ->  ( T `  I
) : ( H `
 I ) -1-1-onto-> O )
Assertion
Ref Expression
cnfcomlem  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    k, I, x, z    x, M    f,
k, x, z, F   
z, T    f, G, k, x, z    f, H, x    S, k, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z, f, k)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    I( f)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    O( x, z, f, k)

Proof of Theorem cnfcomlem
Dummy variables  u  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 7363 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
2 cnfcom.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5049 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
61a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
75, 6, 2cantnff1o 7414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
8 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
9 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
12 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  S
)
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
144, 13syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
155, 6, 2cantnfs 7383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1614, 15mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1716simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
18 fdm 5409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
203, 19syl5sseq 3239 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
21 cnfcom.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2322oif 7261 . . . . . . . . . . 11  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
2423ffvelrni 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  dom  G  -> 
( G `  I
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2521, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  I
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2620, 25sseldd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  I
)  e.  A )
27 onelon 4433 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  I )  e.  A )  -> 
( G `  I
)  e.  On )
282, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  I
)  e.  On )
29 oecl 6552 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( G `  I )  e.  On )  -> 
( om  ^o  ( G `  I )
)  e.  On )
301, 28, 29sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( G `  I )
)  e.  On )
31 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> om  /\  ( G `  I )  e.  A )  -> 
( F `  ( G `  I )
)  e.  om )
3217, 26, 31syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  e.  om )
33 nnon 4678 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  om  ->  ( F `  ( G `  I ) )  e.  On )
3432, 33syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  e.  On )
35 omcl 6551 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 I ) )  e.  On )  -> 
( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  e.  On )
3630, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  e.  On )
375, 6, 2, 22, 14cantnfcl 7384 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
3837simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
39 elnn 4682 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  dom  G  /\  dom  G  e.  om )  ->  I  e.  om )
4021, 38, 39syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  om )
41 cnfcom.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
4241cantnfvalf 7382 . . . . . . 7  |-  H : om
--> On
4342ffvelrni 5680 . . . . . 6  |-  ( I  e.  om  ->  ( H `  I )  e.  On )
4440, 43syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  I
)  e.  On )
45 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )
4645oacomf1o 6579 . . . . 5  |-  ( ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  e.  On  /\  ( H `  I )  e.  On )  ->  (
( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) : ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  ( H `  I )
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
4736, 44, 46syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) : ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  ( H `  I )
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
48 cnfcom.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
4948seqomsuc 6485 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  om  ->  ( T `  suc  I )  =  ( I ( k  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  K ) ( T `  I ) ) )
5040, 49syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I )  =  ( I ( k  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  K ) ( T `  I ) ) )
51 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ u K
52 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ v K
53 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) )
54 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ f
( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) )
55 cnfcom.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
56 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  f  +o  x
)  =  ( dom  f  +o  y ) )
5756cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  =  ( y  e.  M  |->  ( dom  f  +o  y ) )
58 cnfcom.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
59 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  k  =  u )
6059fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( G `  k
)  =  ( G `
 u ) )
6160oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( om  ^o  ( G `  k )
)  =  ( om 
^o  ( G `  u ) ) )
6260fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( F `  ( G `  k )
)  =  ( F `
 ( G `  u ) ) )
6361, 62oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) ) )
6458, 63syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  M  =  ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) ) )
65 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  f  =  v )
6665dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  dom  f  =  dom  v )
6766oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( dom  f  +o  y )  =  ( dom  v  +o  y
) )
6864, 67mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( y  e.  M  |->  ( dom  f  +o  y ) )  =  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) ) )
6957, 68syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  =  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) ) )
70 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( M  +o  x )  =  ( M  +o  y
) )
7170cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  f  |->  ( M  +o  x ) )  =  ( y  e.  dom  f  |->  ( M  +o  y ) )
7264oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( M  +o  y
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) )
7366, 72mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( y  e.  dom  f  |->  ( M  +o  y ) )  =  ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  +o  y
) ) )
7471, 73syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( x  e.  dom  f  |->  ( M  +o  x ) )  =  ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  +o  y
) ) )
7574cnveqd 4873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) )  =  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) )
7669, 75uneq12d 3343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) ) )
7755, 76syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  K  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) ) )
7851, 52, 53, 54, 77cbvmpt2 5941 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K )  =  ( u  e. 
_V ,  v  e. 
_V  |->  ( ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) ) )
7978a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K )  =  ( u  e.  _V , 
v  e.  _V  |->  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) ) ) )
80 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  u  =  I )
8180fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( G `  u )  =  ( G `  I ) )
8281oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( om  ^o  ( G `  u ) )  =  ( om 
^o  ( G `  I ) ) )
8381fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( F `  ( G `  u ) )  =  ( F `
 ( G `  I ) ) )
8482, 83oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
85 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) )  -> 
v  =  ( T `
 I ) )
8685dmeqd 4897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) )  ->  dom  v  =  dom  ( T `  I ) )
87 cnfcom.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T `  I
) : ( H `
 I ) -1-1-onto-> O )
88 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T `  I ) : ( H `  I ) -1-1-onto-> O  ->  dom  ( T `
 I )  =  ( H `  I
) )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( T `  I )  =  ( H `  I ) )
9086, 89sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  dom  v  =  ( H `  I ) )
9190oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( dom  v  +o  y )  =  ( ( H `  I
)  +o  y ) )
9284, 91mpteq12dv 4114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  =  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) ) )
9384oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  +o  y
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) )
9490, 93mpteq12dv 4114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) )  =  ( y  e.  ( H `  I
)  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  +o  y
) ) )
9594cnveqd 4873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) )  =  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )
9692, 95uneq12d 3343 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) )
97 elex 2809 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  dom  G  ->  I  e.  _V )
9821, 97syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
99 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( T `
 I )  e. 
_V
10099a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T `  I
)  e.  _V )
101 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  e.  _V
102101mptex 5762 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  e.  _V
103 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 I )  e. 
_V
104103mptex 5762 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) )  e.  _V
105104cnvex 5225 . . . . . . . . 9  |-  `' ( y  e.  ( H `
 I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) )  e.  _V
106102, 105unex 4534 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )  e.  _V
107106a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) )  e. 
_V )
10879, 96, 98, 100, 107ovmpt2d 5991 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ( T `  I
) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) )
10950, 108eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) )
110 f1oeq1 5479 . . . . 5  |-  ( ( T `  suc  I
)  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I )
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
111109, 110syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )  <->  ( (
y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
11247, 111mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) )
1131a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  ->  om  e.  On )
114 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  ->  A  e.  On )
115 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  ->  F  e.  S )
11658oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +o  z )  =  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
)
117116a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( M  +o  z
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )
118117mpt2eq3ia 5929 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z ) )  =  ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )
119 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (/)
120 seqomeq12 6482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) )  =  ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  /\  (/)  =  (/) )  -> seq𝜔 (
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) )
121118, 119, 120mp2an 653 . . . . . . 7  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( M  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
12241, 121eqtri 2316 . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
1235, 113, 114, 22, 115, 122cantnfsuc 7387 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  I  e.  om )  ->  ( H `  suc  I )  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) )
1242, 14, 40, 123syl21anc 1181 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  I )  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) )
125 f1oeq2 5480 . . . 4  |-  ( ( H `  suc  I
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) )  -> 
( ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
126124, 125syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
127112, 126mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
128 sssucid 4485 . . . . . 6  |-  dom  G  C_ 
suc  dom  G
129128, 21sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  suc  dom  G )
130 epelg 4322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  dom  G  -> 
( y  _E  I  <->  y  e.  I ) )
13121, 130syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  _E  I  <->  y  e.  I ) )
132131biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  _E  I )
133 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  _V )
13420, 2, 133syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
13537simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
13622oiiso 7268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
137134, 135, 136syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
138137adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
13922oicl 7260 . . . . . . . . . . . 12  |-  Ord  dom  G
140 ordelss 4424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  dom  G  /\  I  e.  dom  G )  ->  I  C_  dom  G )
141139, 21, 140sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  C_  dom  G )
142141sselda 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  dom  G )
14321adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  dom  G )
144 isorel 5839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( y  e.  dom  G  /\  I  e.  dom  G ) )  ->  ( y  _E  I  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  I )
) )
145138, 142, 143, 144syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
y  _E  I  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  I )
) )
146132, 145mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( G `  y )  _E  ( G `  I
) )
147 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 I )  e. 
_V
148147epelc 4323 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  y )  _E  ( G `  I )  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  I ) )
149146, 148sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( G `  y )  e.  ( G `  I
) )
150149ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( G `  y
)  e.  ( G `
 I ) )
151 ffun 5407 . . . . . . . 8  |-  ( G : dom  G --> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  ->  Fun  G )
15223, 151ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  Fun  G
153 funimass4 5589 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  I  C_ 
dom  G )  -> 
( ( G "
I )  C_  ( G `  I )  <->  A. y  e.  I  ( G `  y )  e.  ( G `  I ) ) )
154152, 141, 153sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G "
I )  C_  ( G `  I )  <->  A. y  e.  I  ( G `  y )  e.  ( G `  I ) ) )
155150, 154mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G " I
)  C_  ( G `  I ) )
1561a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  om  e.  On )
157 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  A  e.  On )
158 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  F  e.  S )
159 peano1 4691 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
160159a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  (/)  e.  om )
161 simpr1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  I  e.  suc  dom  G )
162 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  ( G `  I )  e.  On )
163 simpr3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  ( G " I )  C_  ( G `  I ) )
1645, 156, 157, 22, 158, 122, 160, 161, 162, 163cantnflt 7389 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  ( H `  I )  e.  ( om  ^o  ( G `  I )
) )
1652, 14, 129, 28, 155, 164syl23anc 1189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  I
)  e.  ( om 
^o  ( G `  I ) ) )
166 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> om  ->  F  Fn  A )
167 elpreima 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( G `  I
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( ( G `  I )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
16817, 166, 1673syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G `  I )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( ( G `  I )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
16925, 168mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  I )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) )
170169simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) )
171 dif1o 6515 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( F `
 ( G `  I ) )  e. 
_V  /\  ( F `  ( G `  I
) )  =/=  (/) ) )
172171simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  ( _V  \  1o )  ->  ( F `
 ( G `  I ) )  =/=  (/) )
173170, 172syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  =/=  (/) )
174 on0eln0 4463 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( F `  ( G `  I ) )  <->  ( F `  ( G `  I ) )  =/=  (/) ) )
17534, 174syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( F `  ( G `  I ) )  <->  ( F `  ( G `  I
) )  =/=  (/) ) )
176173, 175mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( F `  ( G `  I
) ) )
177 omword1 6587 . . . . 5  |-  ( ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 I ) )  e.  On )  /\  (/) 
e.  ( F `  ( G `  I ) ) )  ->  ( om  ^o  ( G `  I ) )  C_  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
17830, 34, 176, 177syl21anc 1181 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( G `  I )
)  C_  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )
179 oaabs2 6659 . . . 4  |-  ( ( ( ( H `  I )  e.  ( om  ^o  ( G `
 I ) )  /\  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  e.  On )  /\  ( om  ^o  ( G `  I ) )  C_  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )  -> 
( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) ) )
180165, 36, 178, 179syl21anc 1181 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) ) )
181 f1oeq3 5481 . . 3  |-  ( ( ( H `  I
)  +o  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  ->  ( ( T `
 suc  I ) : ( H `  suc  I ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
182180, 181syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
183127, 182mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _E cep 4319    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    Isom wiso 5272  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876  seq𝜔cseqom 6475   1oc1o 6488    +o coa 6492    .o comu 6493    ^o coe 6494   Fincfn 6879  OrdIsocoi 7240   CNF ccnf 7378
This theorem is referenced by:  cnfcom  7419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-cnf 7379
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