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Theorem cnfcomlem 7591
Description: Lemma for cnfcom 7592. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.1  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
cnfcom.2  |-  ( ph  ->  O  e.  ( om 
^o  ( G `  I ) ) )
cnfcom.3  |-  ( ph  ->  ( T `  I
) : ( H `
 I ) -1-1-onto-> O )
Assertion
Ref Expression
cnfcomlem  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    k, I, x, z    x, M    f,
k, x, z, F   
z, T    f, G, k, x, z    f, H, x    S, k, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z, f, k)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    I( f)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    O( x, z, f, k)

Proof of Theorem cnfcomlem
Dummy variables  u  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 7536 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
2 cnfcom.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5166 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
75, 6, 2cantnff1o 7587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
8 f1ocnv 5629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
9 f1of 5616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
107, 8, 93syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1210, 11ffvelrnd 5812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
134, 12syl5eqel 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
145, 6, 2cantnfs 7556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1513, 14mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1615simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
17 fdm 5537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
193, 18syl5sseq 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
20 cnfcom.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
21 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2221oif 7434 . . . . . . . . . . 11  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
2322ffvelrni 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  dom  G  -> 
( G `  I
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  I
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2519, 24sseldd 3294 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  I
)  e.  A )
26 onelon 4549 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  I )  e.  A )  -> 
( G `  I
)  e.  On )
272, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  I
)  e.  On )
28 oecl 6719 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( G `  I )  e.  On )  -> 
( om  ^o  ( G `  I )
)  e.  On )
291, 27, 28sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( G `  I )
)  e.  On )
3016, 25ffvelrnd 5812 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  e.  om )
31 nnon 4793 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  om  ->  ( F `  ( G `  I ) )  e.  On )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  e.  On )
33 omcl 6718 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 I ) )  e.  On )  -> 
( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  e.  On )
3429, 32, 33syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  e.  On )
355, 6, 2, 21, 13cantnfcl 7557 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
3635simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
37 elnn 4797 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  dom  G  /\  dom  G  e.  om )  ->  I  e.  om )
3820, 36, 37syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  om )
39 cnfcom.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
4039cantnfvalf 7555 . . . . . . 7  |-  H : om
--> On
4140ffvelrni 5810 . . . . . 6  |-  ( I  e.  om  ->  ( H `  I )  e.  On )
4238, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  I
)  e.  On )
43 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )
4443oacomf1o 6746 . . . . 5  |-  ( ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  e.  On  /\  ( H `  I )  e.  On )  ->  (
( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) : ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  ( H `  I )
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
4534, 42, 44syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) : ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  ( H `  I )
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
46 cnfcom.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
4746seqomsuc 6652 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  om  ->  ( T `  suc  I )  =  ( I ( k  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  K ) ( T `  I ) ) )
4838, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I )  =  ( I ( k  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  K ) ( T `  I ) ) )
49 nfcv 2525 . . . . . . . . 9  |-  F/_ u K
50 nfcv 2525 . . . . . . . . 9  |-  F/_ v K
51 nfcv 2525 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) )
52 nfcv 2525 . . . . . . . . 9  |-  F/_ f
( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) )
53 cnfcom.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
54 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  f  +o  x
)  =  ( dom  f  +o  y ) )
5554cbvmptv 4243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  =  ( y  e.  M  |->  ( dom  f  +o  y ) )
56 cnfcom.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
57 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  k  =  u )
5857fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( G `  k
)  =  ( G `
 u ) )
5958oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( om  ^o  ( G `  k )
)  =  ( om 
^o  ( G `  u ) ) )
6058fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( F `  ( G `  k )
)  =  ( F `
 ( G `  u ) ) )
6159, 60oveq12d 6040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) ) )
6256, 61syl5eq 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  M  =  ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) ) )
63 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  f  =  v )
6463dmeqd 5014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  dom  f  =  dom  v )
6564oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( dom  f  +o  y )  =  ( dom  v  +o  y
) )
6662, 65mpteq12dv 4230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( y  e.  M  |->  ( dom  f  +o  y ) )  =  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) ) )
6755, 66syl5eq 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  =  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) ) )
68 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( M  +o  x )  =  ( M  +o  y
) )
6968cbvmptv 4243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  f  |->  ( M  +o  x ) )  =  ( y  e.  dom  f  |->  ( M  +o  y ) )
7062oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( M  +o  y
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) )
7164, 70mpteq12dv 4230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( y  e.  dom  f  |->  ( M  +o  y ) )  =  ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  +o  y
) ) )
7269, 71syl5eq 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( x  e.  dom  f  |->  ( M  +o  x ) )  =  ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  +o  y
) ) )
7372cnveqd 4990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) )  =  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) )
7467, 73uneq12d 3447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) ) )
7553, 74syl5eq 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  K  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) ) )
7649, 50, 51, 52, 75cbvmpt2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K )  =  ( u  e. 
_V ,  v  e. 
_V  |->  ( ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) ) )
7776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K )  =  ( u  e.  _V , 
v  e.  _V  |->  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) ) ) )
78 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  u  =  I )
7978fveq2d 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( G `  u )  =  ( G `  I ) )
8079oveq2d 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( om  ^o  ( G `  u ) )  =  ( om 
^o  ( G `  I ) ) )
8179fveq2d 5674 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( F `  ( G `  u ) )  =  ( F `
 ( G `  I ) ) )
8280, 81oveq12d 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
83 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) )  -> 
v  =  ( T `
 I ) )
8483dmeqd 5014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) )  ->  dom  v  =  dom  ( T `  I ) )
85 cnfcom.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T `  I
) : ( H `
 I ) -1-1-onto-> O )
86 f1odm 5620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T `  I ) : ( H `  I ) -1-1-onto-> O  ->  dom  ( T `
 I )  =  ( H `  I
) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( T `  I )  =  ( H `  I ) )
8884, 87sylan9eqr 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  dom  v  =  ( H `  I ) )
8988oveq1d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( dom  v  +o  y )  =  ( ( H `  I
)  +o  y ) )
9082, 89mpteq12dv 4230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  =  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) ) )
9182oveq1d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  +o  y
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) )
9288, 91mpteq12dv 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) )  =  ( y  e.  ( H `  I
)  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  +o  y
) ) )
9392cnveqd 4990 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) )  =  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )
9490, 93uneq12d 3447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) )
95 elex 2909 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  dom  G  ->  I  e.  _V )
9620, 95syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
97 fvex 5684 . . . . . . . 8  |-  ( T `
 I )  e. 
_V
9897a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T `  I
)  e.  _V )
99 ovex 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  e.  _V
10099mptex 5907 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  e.  _V
101 fvex 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 I )  e. 
_V
102101mptex 5907 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) )  e.  _V
103102cnvex 5348 . . . . . . . . 9  |-  `' ( y  e.  ( H `
 I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) )  e.  _V
104100, 103unex 4649 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )  e.  _V
105104a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) )  e. 
_V )
10677, 94, 96, 98, 105ovmpt2d 6142 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ( T `  I
) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) )
10748, 106eqtrd 2421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) )
108 f1oeq1 5607 . . . . 5  |-  ( ( T `  suc  I
)  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I )
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
109107, 108syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )  <->  ( (
y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
11045, 109mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) )
1111a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  ->  om  e.  On )
112 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  ->  A  e.  On )
113 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  ->  F  e.  S )
11456oveq1i 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +o  z )  =  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( M  +o  z
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )
116115mpt2eq3ia 6080 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z ) )  =  ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )
117 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (/)
118 seqomeq12 6649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) )  =  ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  /\  (/)  =  (/) )  -> seq𝜔 (
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) )
119116, 117, 118mp2an 654 . . . . . . 7  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( M  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
12039, 119eqtri 2409 . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
1215, 111, 112, 21, 113, 120cantnfsuc 7560 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  I  e.  om )  ->  ( H `  suc  I )  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) )
1222, 13, 38, 121syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  I )  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) )
123 f1oeq2 5608 . . . 4  |-  ( ( H `  suc  I
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) )  -> 
( ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
124122, 123syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
125110, 124mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
126 sssucid 4601 . . . . . 6  |-  dom  G  C_ 
suc  dom  G
127126, 20sseldi 3291 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  suc  dom  G )
128 epelg 4438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  dom  G  -> 
( y  _E  I  <->  y  e.  I ) )
12920, 128syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  _E  I  <->  y  e.  I ) )
130129biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  _E  I )
1312, 19ssexd 4293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
13235simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
13321oiiso 7441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
134131, 132, 133syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
135134adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
13621oicl 7433 . . . . . . . . . . . 12  |-  Ord  dom  G
137 ordelss 4540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  dom  G  /\  I  e.  dom  G )  ->  I  C_  dom  G )
138136, 20, 137sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  C_  dom  G )
139138sselda 3293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  dom  G )
14020adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  dom  G )
141 isorel 5987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( y  e.  dom  G  /\  I  e.  dom  G ) )  ->  ( y  _E  I  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  I )
) )
142135, 139, 140, 141syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
y  _E  I  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  I )
) )
143130, 142mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( G `  y )  _E  ( G `  I
) )
144 fvex 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 I )  e. 
_V
145144epelc 4439 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  y )  _E  ( G `  I )  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  I ) )
146143, 145sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( G `  y )  e.  ( G `  I
) )
147146ralrimiva 2734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( G `  y
)  e.  ( G `
 I ) )
148 ffun 5535 . . . . . . . 8  |-  ( G : dom  G --> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  ->  Fun  G )
14922, 148ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  Fun  G
150 funimass4 5718 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  I  C_ 
dom  G )  -> 
( ( G "
I )  C_  ( G `  I )  <->  A. y  e.  I  ( G `  y )  e.  ( G `  I ) ) )
151149, 138, 150sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G "
I )  C_  ( G `  I )  <->  A. y  e.  I  ( G `  y )  e.  ( G `  I ) ) )
152147, 151mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G " I
)  C_  ( G `  I ) )
1531a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  om  e.  On )
154 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  A  e.  On )
155 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  F  e.  S )
156 peano1 4806 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
157156a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  (/)  e.  om )
158 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  I  e.  suc  dom  G )
159 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  ( G `  I )  e.  On )
160 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  ( G " I )  C_  ( G `  I ) )
1615, 153, 154, 21, 155, 120, 157, 158, 159, 160cantnflt 7562 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  ( H `  I )  e.  ( om  ^o  ( G `  I )
) )
1622, 13, 127, 27, 152, 161syl23anc 1191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  I
)  e.  ( om 
^o  ( G `  I ) ) )
163 ffn 5533 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> om  ->  F  Fn  A )
164 elpreima 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( G `  I
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( ( G `  I )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
16516, 163, 1643syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G `  I )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( ( G `  I )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
16624, 165mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  I )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) )
167166simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) )
168 dif1o 6682 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( F `
 ( G `  I ) )  e. 
_V  /\  ( F `  ( G `  I
) )  =/=  (/) ) )
169168simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  ( _V  \  1o )  ->  ( F `
 ( G `  I ) )  =/=  (/) )
170167, 169syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  =/=  (/) )
171 on0eln0 4579 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( F `  ( G `  I ) )  <->  ( F `  ( G `  I ) )  =/=  (/) ) )
17232, 171syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( F `  ( G `  I ) )  <->  ( F `  ( G `  I
) )  =/=  (/) ) )
173170, 172mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( F `  ( G `  I
) ) )
174 omword1 6754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 I ) )  e.  On )  /\  (/) 
e.  ( F `  ( G `  I ) ) )  ->  ( om  ^o  ( G `  I ) )  C_  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
17529, 32, 173, 174syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( G `  I )
)  C_  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )
176 oaabs2 6826 . . . 4  |-  ( ( ( ( H `  I )  e.  ( om  ^o  ( G `
 I ) )  /\  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  e.  On )  /\  ( om  ^o  ( G `  I ) )  C_  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )  -> 
( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) ) )
177162, 34, 175, 176syl21anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) ) )
178 f1oeq3 5609 . . 3  |-  ( ( ( H `  I
)  +o  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  ->  ( ( T `
 suc  I ) : ( H `  suc  I ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
179177, 178syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
180125, 179mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    u. cun 3263    C_ wss 3265   (/)c0 3573   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209    _E cep 4435    We wwe 4483   Ord word 4523   Oncon0 4524   suc csuc 4526   omcom 4787   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   "cima 4823   Fun wfun 5390    Fn wfn 5391   -->wf 5392   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396    Isom wiso 5397  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024  seq𝜔cseqom 6642   1oc1o 6655    +o coa 6659    .o comu 6660    ^o coe 6661   Fincfn 7047  OrdIsocoi 7413   CNF ccnf 7551
This theorem is referenced by:  cnfcom  7592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-seqom 6643  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-oexp 6668  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-cnf 7552
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