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Theorem cnfex 27802
Description: The class of continuous functions between two topologies is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfex  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )

Proof of Theorem cnfex
Dummy variables  y 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
21jctr 526 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. J ) )
3 istopon 16679 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  <->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. J ) )
42, 3sylibr 203 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
54adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
76jctr 526 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  ->  ( K  e.  Top  /\  U. K  =  U. K ) )
8 istopon 16679 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  <->  ( K  e.  Top  /\  U. K  =  U. K ) )
97, 8sylibr 203 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
109adantl 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
115, 10jca 518 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) ) )
12 cnfval 16979 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( J  Cn  K )  =  {
f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f
" y )  e.  J } )
1311, 12syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  =  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }
)
14 uniexg 4533 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
1514adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  U. K  e.  _V )
16 uniexg 4533 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
1716adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  U. J  e.  _V )
1815, 17jca 518 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  e. 
_V  /\  U. J  e. 
_V ) )
19 mapvalg 6798 . . . . 5  |-  ( ( U. K  e.  _V  /\ 
U. J  e.  _V )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  =  { f  |  f : U. J --> U. K } )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  =  {
f  |  f : U. J --> U. K } )
2118ancomd 438 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. J  e. 
_V  /\  U. K  e. 
_V ) )
22 mapex 6794 . . . . 5  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\ 
U. K  e.  _V )  ->  { f  |  f : U. J --> U. K }  e.  _V )
2321, 22syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  { f  |  f : U. J --> U. K }  e.  _V )
2420, 23eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  e.  _V )
25 rabexg 4180 . . 3  |-  ( ( U. K  ^m  U. J )  e.  _V  ->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }  e.  _V )
2624, 25syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }  e.  _V )
2713, 26eqeltrd 2370 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  27905  stoweidlem57  27909  stoweidlem59  27911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-topon 16655  df-cn 16973
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