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Theorem cnfex 27699
Description: The class of continuous functions between two topologies is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfex  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )

Proof of Theorem cnfex
Dummy variables  y 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
21jctr 526 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. J ) )
3 istopon 16663 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  <->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. J ) )
42, 3sylibr 203 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
54adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
76jctr 526 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  ->  ( K  e.  Top  /\  U. K  =  U. K ) )
8 istopon 16663 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  <->  ( K  e.  Top  /\  U. K  =  U. K ) )
97, 8sylibr 203 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
109adantl 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
115, 10jca 518 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) ) )
12 cnfval 16963 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( J  Cn  K )  =  {
f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f
" y )  e.  J } )
1311, 12syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  =  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }
)
14 uniexg 4517 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
1514adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  U. K  e.  _V )
16 uniexg 4517 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
1716adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  U. J  e.  _V )
1815, 17jca 518 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  e. 
_V  /\  U. J  e. 
_V ) )
19 mapvalg 6782 . . . . 5  |-  ( ( U. K  e.  _V  /\ 
U. J  e.  _V )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  =  { f  |  f : U. J --> U. K } )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  =  {
f  |  f : U. J --> U. K } )
2118ancomd 438 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. J  e. 
_V  /\  U. K  e. 
_V ) )
22 mapex 6778 . . . . 5  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\ 
U. K  e.  _V )  ->  { f  |  f : U. J --> U. K }  e.  _V )
2321, 22syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  { f  |  f : U. J --> U. K }  e.  _V )
2420, 23eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  e.  _V )
25 rabexg 4164 . . 3  |-  ( ( U. K  ^m  U. J )  e.  _V  ->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }  e.  _V )
2624, 25syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }  e.  _V )
2713, 26eqeltrd 2357 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  27802  stoweidlem57  27806  stoweidlem59  27808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-topon 16639  df-cn 16957
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