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Theorem cnfex 27367
Description: The class of continuous functions between two topologies is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfex  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )

Proof of Theorem cnfex
Dummy variables  y 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
21jctr 527 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. J ) )
3 istopon 16913 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  <->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. J ) )
42, 3sylibr 204 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2387 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
65jctr 527 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  ( K  e.  Top  /\  U. K  =  U. K ) )
7 istopon 16913 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  <->  ( K  e.  Top  /\  U. K  =  U. K ) )
86, 7sylibr 204 . . 3  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9 cnfval 17219 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( J  Cn  K )  =  {
f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f
" y )  e.  J } )
104, 8, 9syl2an 464 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  =  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }
)
11 uniexg 4646 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
12 uniexg 4646 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
13 mapvalg 6964 . . . . 5  |-  ( ( U. K  e.  _V  /\ 
U. J  e.  _V )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  =  { f  |  f : U. J --> U. K } )
1411, 12, 13syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  =  {
f  |  f : U. J --> U. K } )
15 mapex 6960 . . . . 5  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\ 
U. K  e.  _V )  ->  { f  |  f : U. J --> U. K }  e.  _V )
1612, 11, 15syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  { f  |  f : U. J --> U. K }  e.  _V )
1714, 16eqeltrd 2461 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  e.  _V )
18 rabexg 4294 . . 3  |-  ( ( U. K  ^m  U. J )  e.  _V  ->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }  e.  _V )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }  e.  _V )
2010, 19eqeltrd 2461 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373   A.wral 2649   {crab 2653   _Vcvv 2899   U.cuni 3957   `'ccnv 4817   "cima 4821   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ^m cmap 6954   Topctop 16881  TopOnctopon 16882    Cn ccn 17210
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  27470  stoweidlem57  27474  stoweidlem59  27476
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-map 6956  df-topon 16889  df-cn 17213
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