MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld0 Unicode version

Theorem cnfld0 16414
Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld0  |-  0  =  ( 0g ` fld )

Proof of Theorem cnfld0
StepHypRef Expression
1 00id 9003 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 cnrng 16412 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
3 rnggrp 15362 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
42, 3ax-mp 8 . . . 4  |-fld  e.  Grp
5 0cn 8847 . . . 4  |-  0  e.  CC
6 cnfldbas 16399 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
7 cnfldadd 16400 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
8 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0g
` fld
)  =  ( 0g
` fld
)
96, 7, 8grpid 14533 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Grp  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 ) )
104, 5, 9mp2an 653 . . 3  |-  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 )
111, 10mpbi 199 . 2  |-  ( 0g
` fld
)  =  0
1211eqcomi 2300 1  |-  0  =  ( 0g ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    + caddc 8756   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   Ringcrg 15353  ℂfldccnfld 16393
This theorem is referenced by:  cnfldneg  16416  cndrng  16419  cnflddiv  16420  cnfldinv  16421  cnfldmulg  16422  cnsubmlem  16435  cnsubdrglem  16438  absabv  16445  qsssubdrg  16447  cnmgpabl  16449  cnmsubglem  16450  gzrngunitlem  16452  gzrngunit  16453  zrngunit  16454  gsumfsum  16455  zlpirlem1  16457  zlpir  16460  prmirred  16464  expmhm  16465  expghm  16466  zrh0  16484  zndvds0  16520  cnfldnm  18304  clm0  18586  cphsubrglem  18629  cphreccllem  18630  tdeglem1  19460  tdeglem3  19461  tdeglem4  19462  plypf1  19610  dvply2g  19681  tayl0  19757  taylpfval  19760  jensenlem2  20298  jensen  20299  amgmlem  20300  amgm  20301  dchrghm  20511  dchrabs  20515  sum2dchr  20529  lgseisenlem4  20607  qrng0  20786  fsumcnsrcl  27474  cnsrplycl  27475  rngunsnply  27481  proot1ex  27623  deg1mhm  27629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-cnfld 16394
  Copyright terms: Public domain W3C validator