MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld0 Structured version   Unicode version

Theorem cnfld0 16717
Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld0  |-  0  =  ( 0g ` fld )

Proof of Theorem cnfld0
StepHypRef Expression
1 00id 9233 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 cnrng 16715 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
3 rnggrp 15661 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
42, 3ax-mp 8 . . . 4  |-fld  e.  Grp
5 0cn 9076 . . . 4  |-  0  e.  CC
6 cnfldbas 16699 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
7 cnfldadd 16700 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
8 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 0g
` fld
)  =  ( 0g
` fld
)
96, 7, 8grpid 14832 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Grp  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 ) )
104, 5, 9mp2an 654 . . 3  |-  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 )
111, 10mpbi 200 . 2  |-  ( 0g
` fld
)  =  0
1211eqcomi 2439 1  |-  0  =  ( 0g ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982    + caddc 8985   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   Ringcrg 15652  ℂfldccnfld 16695
This theorem is referenced by:  cnfldneg  16719  cndrng  16722  cnflddiv  16723  cnfldinv  16724  cnfldmulg  16725  cnsubmlem  16738  cnsubdrglem  16741  absabv  16748  qsssubdrg  16750  cnmgpabl  16752  cnmsubglem  16753  gzrngunitlem  16755  gzrngunit  16756  zrngunit  16757  gsumfsum  16758  zlpirlem1  16760  zlpir  16763  prmirred  16767  expmhm  16768  expghm  16769  zrh0  16787  zndvds0  16823  cnfldnm  18805  clm0  19089  cphsubrglem  19132  cphreccllem  19133  tdeglem1  19973  tdeglem3  19974  tdeglem4  19975  plypf1  20123  dvply2g  20194  tayl0  20270  taylpfval  20273  jensenlem2  20818  jensen  20819  amgmlem  20820  amgm  20821  dchrghm  21032  dchrabs  21036  sum2dchr  21050  lgseisenlem4  21128  qrng0  21307  zzs0  24259  re0g  24265  zzsnm  24334  cnzh  24346  rezh  24347  fsumcnsrcl  27339  cnsrplycl  27340  rngunsnply  27346  proot1ex  27488  deg1mhm  27494
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-cnfld 16696
  Copyright terms: Public domain W3C validator