MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld0 Unicode version

Theorem cnfld0 16648
Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld0  |-  0  =  ( 0g ` fld )

Proof of Theorem cnfld0
StepHypRef Expression
1 00id 9173 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 cnrng 16646 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
3 rnggrp 15596 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
42, 3ax-mp 8 . . . 4  |-fld  e.  Grp
5 0cn 9017 . . . 4  |-  0  e.  CC
6 cnfldbas 16630 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
7 cnfldadd 16631 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
8 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( 0g
` fld
)  =  ( 0g
` fld
)
96, 7, 8grpid 14767 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Grp  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 ) )
104, 5, 9mp2an 654 . . 3  |-  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 )
111, 10mpbi 200 . 2  |-  ( 0g
` fld
)  =  0
1211eqcomi 2391 1  |-  0  =  ( 0g ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   0cc0 8923    + caddc 8926   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612   Ringcrg 15587  ℂfldccnfld 16626
This theorem is referenced by:  cnfldneg  16650  cndrng  16653  cnflddiv  16654  cnfldinv  16655  cnfldmulg  16656  cnsubmlem  16669  cnsubdrglem  16672  absabv  16679  qsssubdrg  16681  cnmgpabl  16683  cnmsubglem  16684  gzrngunitlem  16686  gzrngunit  16687  zrngunit  16688  gsumfsum  16689  zlpirlem1  16691  zlpir  16694  prmirred  16698  expmhm  16699  expghm  16700  zrh0  16718  zndvds0  16754  cnfldnm  18684  clm0  18968  cphsubrglem  19011  cphreccllem  19012  tdeglem1  19848  tdeglem3  19849  tdeglem4  19850  plypf1  19998  dvply2g  20069  tayl0  20145  taylpfval  20148  jensenlem2  20693  jensen  20694  amgmlem  20695  amgm  20696  dchrghm  20907  dchrabs  20911  sum2dchr  20925  lgseisenlem4  21003  qrng0  21182  zzs0  24083  re0g  24089  zzsnm  24144  rrhre  24183  fsumcnsrcl  27040  cnsrplycl  27041  rngunsnply  27047  proot1ex  27189  deg1mhm  27195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-cmn 15341  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-cnfld 16627
  Copyright terms: Public domain W3C validator