MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld0 Structured version   Unicode version

Theorem cnfld0 16730
Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld0  |-  0  =  ( 0g ` fld )

Proof of Theorem cnfld0
StepHypRef Expression
1 00id 9246 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 cnrng 16728 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
3 rnggrp 15674 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-fld  e.  Grp
5 0cn 9089 . . . 4  |-  0  e.  CC
6 cnfldbas 16712 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
7 cnfldadd 16713 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
8 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
` fld
)  =  ( 0g
` fld
)
96, 7, 8grpid 14845 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Grp  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 ) )
104, 5, 9mp2an 655 . . 3  |-  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 )
111, 10mpbi 201 . 2  |-  ( 0g
` fld
)  =  0
1211eqcomi 2442 1  |-  0  =  ( 0g ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995    + caddc 8998   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   Ringcrg 15665  ℂfldccnfld 16708
This theorem is referenced by:  cnfldneg  16732  cndrng  16735  cnflddiv  16736  cnfldinv  16737  cnfldmulg  16738  cnsubmlem  16751  cnsubdrglem  16754  absabv  16761  qsssubdrg  16763  cnmgpabl  16765  cnmsubglem  16766  gzrngunitlem  16768  gzrngunit  16769  zrngunit  16770  gsumfsum  16771  zlpirlem1  16773  zlpir  16776  prmirred  16780  expmhm  16781  expghm  16782  zrh0  16800  zndvds0  16836  cnfldnm  18818  clm0  19102  cphsubrglem  19145  cphreccllem  19146  tdeglem1  19986  tdeglem3  19987  tdeglem4  19988  plypf1  20136  dvply2g  20207  tayl0  20283  taylpfval  20286  jensenlem2  20831  jensen  20832  amgmlem  20833  amgm  20834  dchrghm  21045  dchrabs  21049  sum2dchr  21063  lgseisenlem4  21141  qrng0  21320  zzs0  24272  re0g  24278  zzsnm  24347  cnzh  24359  rezh  24360  fsumcnsrcl  27362  cnsrplycl  27363  rngunsnply  27369  proot1ex  27511  deg1mhm  27517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-cmn 15419  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-cnfld 16709
  Copyright terms: Public domain W3C validator