MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld1 Unicode version

Theorem cnfld1 16455
Description: The unit element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld1  |-  1  =  ( 1r ` fld )

Proof of Theorem cnfld1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8840 . . . 4  |-  1  e.  CC
2 mulid2 8881 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
3 mulid1 8880 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
42, 3jca 518 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 1  x.  x
)  =  x  /\  ( x  x.  1
)  =  x ) )
54rgen 2642 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  ( ( 1  x.  x )  =  x  /\  ( x  x.  1 )  =  x )
61, 5pm3.2i 441 . . 3  |-  ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  CC  (
( 1  x.  x
)  =  x  /\  ( x  x.  1
)  =  x ) )
7 cnrng 16452 . . . 4  |-fld  e.  Ring
8 cnfldbas 16436 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
9 cnfldmul 16438 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
10 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( 1r
` fld
)  =  ( 1r
` fld
)
118, 9, 10isrngid 15415 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  CC  ( ( 1  x.  x )  =  x  /\  ( x  x.  1 )  =  x ) )  <->  ( 1r ` fld )  =  1 ) )
127, 11ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  CC  (
( 1  x.  x
)  =  x  /\  ( x  x.  1
)  =  x ) )  <->  ( 1r ` fld )  =  1 )
136, 12mpbi 199 . 2  |-  ( 1r
` fld
)  =  1
1413eqcomi 2320 1  |-  1  =  ( 1r ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   1c1 8783    x. cmul 8787   Ringcrg 15386   1rcur 15388  ℂfldccnfld 16432
This theorem is referenced by:  cndrng  16459  cnfldinv  16461  cnfldexp  16463  cnsubrglem  16477  cnsubdrglem  16478  zsssubrg  16486  gzrngunitlem  16492  prmirredlem  16502  expmhm  16505  mulgrhm  16516  mulgrhm2  16517  zrh1  16523  zlmlmod  16533  clm1  18624  cphsubrglem  18666  taylply2  19800  amgmlem  20337  amgm  20338  wilthlem2  20360  wilthlem3  20361  dchrelbas3  20530  dchrzrh1  20536  dchrmulcl  20541  dchrn0  20542  dchrinvcl  20545  dchrfi  20547  dchrabs  20552  sumdchr2  20562  lgsqrlem1  20633  rpvmasum2  20714  qrng1  20824  iistmd  23369  xrge0iifmhm  23394  zzs1  23525  re1r  23531  cnsrexpcl  26518  rngunsnply  26526  proot1ex  26668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-cmn 15140  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-cring 15390  df-ur 15391  df-cnfld 16433
  Copyright terms: Public domain W3C validator