MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldbas Structured version   Unicode version

Theorem cnfldbas 16712
Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldbas  |-  CC  =  ( Base ` fld )

Proof of Theorem cnfldbas
StepHypRef Expression
1 cnex 9076 . 2  |-  CC  e.  _V
2 cnfldstr 16710 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
3 baseid 13516 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
4 snsstp1 3951 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. }  C_  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }
5 ssun1 3512 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )
6 ssun1 3512 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  C_  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
7 df-cnfld 16709 . . . . . 6  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
86, 7sseqtr4i 3383 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  C_fld
95, 8sstri 3359 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_fld
104, 9sstri 3359 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. }  C_fld
112, 3, 10strfv 13506 . 2  |-  ( CC  e.  _V  ->  CC  =  ( Base ` fld ) )
121, 11ax-mp 5 1  |-  CC  =  ( Base ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320   {csn 3816   {ctp 3818   <.cop 3819    o. ccom 4885   ` cfv 5457   CCcc 8993   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    <_ cle 9126    - cmin 9296   3c3 10055  ;cdc 10387   *ccj 11906   abscabs 12044   ndxcnx 13471   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   .rcmulr 13535   * rcstv 13536  TopSetcts 13540   lecple 13541   distcds 13543   UnifSetcunif 13544   MetOpencmopn 16696  metUnifcmetu 16698  ℂfldccnfld 16708
This theorem is referenced by:  cncrng  16727  cnfld0  16730  cnfld1  16731  cnfldneg  16732  cnfldplusf  16733  cnfldsub  16734  cndrng  16735  cnflddiv  16736  cnfldinv  16737  cnfldmulg  16738  cnfldexp  16739  cnsrng  16740  cnsubmlem  16751  cnsubglem  16752  cnsubrglem  16753  cnsubdrglem  16754  absabv  16761  cnsubrg  16764  cnmgpabl  16765  cnmsubglem  16766  gzrngunit  16769  zrngunit  16770  gsumfsum  16771  dvdsrz  16772  zlpirlem1  16773  zlpirlem3  16775  expmhm  16781  expghm  16782  chrrhm  16817  domnchr  16818  cnfldms  18815  cnfldnm  18818  cnfldtopn  18821  cnfldtopon  18822  clmsscn  19109  cphsubrglem  19145  cphreccllem  19146  cphdivcl  19150  cphabscl  19153  cphsqrcl2  19154  cphsqrcl3  19155  cphipcl  19159  cncms  19314  cnflduss  19315  cnfldcusp  19316  resscdrg  19317  ishl2  19329  tdeglem3  19987  tdeglem4  19988  tdeglem2  19989  plypf1  20136  dvply2g  20207  dvply2  20208  dvnply  20210  taylfvallem  20279  taylf  20282  tayl0  20283  taylpfval  20286  taylply2  20289  taylply  20290  jensenlem1  20830  jensenlem2  20831  jensen  20832  amgmlem  20833  amgm  20834  wilthlem2  20857  wilthlem3  20858  dchrelbas2  21026  dchrelbas3  21027  dchrzrhmul  21035  dchrn0  21039  dchrghm  21045  dchrabs  21049  sum2dchr  21063  lgsdchr  21137  lgseisenlem4  21141  qrngbas  21318  zzsbase  24268  zzs0  24272  rebase  24274  re0g  24278  iistmd  24305  xrge0iifmhm  24330  xrge0pluscn  24331  zzsnm  24347  recms  24348  cnzh  24359  rezh  24360  esumpfinvallem  24469  sitgclcn  24663  cnpwstotbnd  26520  repwsmet  26557  rrnequiv  26558  mzpmfp  26818  cnsrexpcl  27361  fsumcnsrcl  27362  cnsrplycl  27363  rngunsnply  27369  cnmsgnbas  27426  proot1ex  27511  deg1mhm  27517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-cnfld 16709
  Copyright terms: Public domain W3C validator