MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldcj Unicode version

Theorem cnfldcj 16635
Description: The conjugation operation of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldcj  |-  *  =  ( * r ` fld )

Proof of Theorem cnfldcj
StepHypRef Expression
1 cjf 11838 . . 3  |-  * : CC --> CC
2 cnex 9006 . . 3  |-  CC  e.  _V
3 fex2 5545 . . 3  |-  ( ( * : CC --> CC  /\  CC  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  *  e.  _V )
41, 2, 2, 3mp3an 1279 . 2  |-  *  e. 
_V
5 cnfldstr 16630 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
6 starvid 13510 . . 3  |-  * r  = Slot  ( * r `
 ndx )
7 ssun2 3456 . . . 4  |-  { <. ( * r `  ndx ) ,  * >. } 
C_  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  { <. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )
8 ssun1 3455 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  C_  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
9 df-cnfld 16629 . . . . 5  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
108, 9sseqtr4i 3326 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  C_fld
117, 10sstri 3302 . . 3  |-  { <. ( * r `  ndx ) ,  * >. } 
C_fld
125, 6, 11strfv 13430 . 2  |-  ( *  e.  _V  ->  *  =  ( * r `
fld ) )
134, 12ax-mp 8 1  |-  *  =  ( * r ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901    u. cun 3263   {csn 3759   {ctp 3761   <.cop 3762    o. ccom 4824   -->wf 5392   ` cfv 5396   CCcc 8923   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    <_ cle 9056    - cmin 9225   3c3 9984  ;cdc 10316   *ccj 11830   abscabs 11968   ndxcnx 13395   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   .rcmulr 13459   * rcstv 13460  TopSetcts 13464   lecple 13465   distcds 13467   UnifSetcunif 13468   MetOpencmopn 16619  metUnifcmetu 16620  ℂfldccnfld 16628
This theorem is referenced by:  cnsrng  16660  clmcj  18974  cphcjcl  19019  ipcau2  19064
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-fz 10978  df-cj 11833  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-cnfld 16629
  Copyright terms: Public domain W3C validator