Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflddiv Structured version   Unicode version

Theorem cnflddiv 16733
 Description: The division operation in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnflddiv /rfld

Proof of Theorem cnflddiv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrng 16725 . . . . . . . 8 fld
2 cnfldbas 16709 . . . . . . . . 9 fld
3 cnfld0 16727 . . . . . . . . . 10 fld
4 cndrng 16732 . . . . . . . . . 10 fld
52, 3, 4drngui 15843 . . . . . . . . 9 Unitfld
6 eqid 2438 . . . . . . . . 9 /rfld /rfld
7 cnfldmul 16711 . . . . . . . . 9 fld
82, 5, 6, 7dvrcan1 15798 . . . . . . . 8 fld /rfld
91, 8mp3an1 1267 . . . . . . 7 /rfld
109oveq1d 6098 . . . . . 6 /rfld
112, 5, 6dvrcl 15793 . . . . . . . 8 fld /rfld
121, 11mp3an1 1267 . . . . . . 7 /rfld
13 simpr 449 . . . . . . . . 9
14 eldifsn 3929 . . . . . . . . 9
1513, 14sylib 190 . . . . . . . 8
1615simpld 447 . . . . . . 7
1715simprd 451 . . . . . . 7
1812, 16, 17divcan4d 9798 . . . . . 6 /rfld /rfld
1910, 18eqtr3d 2472 . . . . 5 /rfld
20 simpl 445 . . . . . 6
21 divval 9682 . . . . . 6
2220, 16, 17, 21syl3anc 1185 . . . . 5
2319, 22eqtr3d 2472 . . . 4 /rfld
24 eqid 2438 . . . . 5 fld fld
252, 7, 5, 24, 6dvrval 15792 . . . 4 /rfld fld
2623, 25eqtr3d 2472 . . 3 fld
2726mpt2eq3ia 6141 . 2 fld
28 df-div 9680 . 2
292, 7, 5, 24, 6dvrfval 15791 . 2 /rfld fld
3027, 28, 293eqtr4i 2468 1 /rfld
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   cdif 3319  csn 3816  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  crio 6544  cc 8990  cc0 8992   cmul 8997   cdiv 9679  crg 15662  cinvr 15778  /rcdvr 15789  ℂfldccnfld 16705 This theorem is referenced by:  cnfldinv  16734  cnsubdrglem  16751  qsssubdrg  16760  qrngdiv  21320  redvr  24279 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-cmn 15416  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-cnfld 16706
 Copyright terms: Public domain W3C validator